Бумажка базируется на других бумажках от Аруновой Анастасии

Список вопросов без доказательства

1.

Вопрос

Сформулируйте теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Формулировка

Теорема. Пусть $A: E \rightarrow E$. Тогда $A$ – ортогональный л.о. $\Leftrightarrow$ ОНБ $e_1, ..., e_n$ переходит в ОНБ $Ae_1, ..., Ae_n$.

2.

Вопрос

Сформулируйте теорему о спектральном разложении симметрической матрицы.

Формулировка

Теорема (о спектральном разложении).

Для $\forall$ симметрической м-цы $A$ $\exists$ такое ортогональное м-ца перехода $U$, что $A = U\Lambda U^T$, где $\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$ – диагональная м-ца с с.з. $\lambda_i$ оп-ра с матрицей $A$, повторяющимися соотв. их кратности.

3.

Вопрос

Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к диагональному виду при помощи ортогональной замены координат.

Формулировка

Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду.

4.

Вопрос

Сформулируйте утверждение о QR-разложении.

Формулировка

Утверждение (о QR-разложении). Пусть $A \in M_m(\mathbb{R})$, и столбцы $A_1, ..., A_m$ – л.н.з. Тогда существуют матрицы $Q$ и $R$, такие что $A = QR$, где $Q$ – ортогональные матрицы, $R$ – верхнетреугольные.

5.

Вопрос

Сформулируйте теорему о сингулярном разложении.

Формулировка

Теорема (о сингулярном разложении). Для любой прямоугольной матрицы $A \in M_{mn}(\mathbb{R})$ имеет место следующее разложение: $$A = V\Sigma U^T$$ Оно называется сингулярным (SVD). Здесь $U \in O_n (\mathbb{R})$, $V \in O_m (\mathbb{R})$ – ортогональные матрицы, $\Sigma \in M_{mn}(\mathbb{R})$ – диагональная матрица с $\sigma_i \geq 0$ на диагонали. Причём, что $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_r > 0$, $r = \text{Rg }A$. Числа $\sigma_i$ называются сингулярными.

6.

Вопрос

Сформулируйте утверждение о полярном разложении.

Формулировка

Утверждение (полярное разложение). Любой линейный оператор в евклидовом пространстве представляется в виде композиции симметрического и ортогонального $A = S \cdot U$, $S$ – симметрический л.о., $U$ – ортогональный л.о.

7.

Вопрос

Сформулируйте теорему о приведении квадратичных форм к диагональному виду (к главным осям) при помощи ортогональной замены координат.

Формулировка (совпадает с 3???)

Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду.

8.

Вопрос

Сформулируйте определение алгебры над полем. Приведите два примера.

Формулировка

Пусть $A$ – вект. пр-во над нек. полем $\mathbb{F}$, снабжённое доп. операцией умножения векторов $\times: A \times A \rightarrow A$.

$A$ наз. алгеброй над полем $\mathbb{F}$, если

$\forall x, y, z \in A$ $\quad$ $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}$

1. $(x + y) \times z = x \times z + y \times z$

2. $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$

3. $(\alpha x) \times (\beta y) = (\alpha \beta) (x \times y)$

Примеры:

1. $\mathbb{C}$ с об. обумножением над $\mathbb{R}$ ($\text{dim}_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2$).

Доп. операция – умнож. к. чисел.

2. $\mathbb{F}[x]$ – многочлены над полем $\mathbb{F}$ ($\text{dim}_{\mathbb{F}} \mathbb{F}[x] = \infty$, есть баз. $1, x, x^2, ...$).

Опер. – умножение многочленов

3. $M_n (\mathbb{R})$ – кв. м-цы с опер. умножения м-ц ($\text{dim}_{\mathbb{R}} M_n (\mathbb{R}) = n^2$).

4. Кватернионы над $\mathbb{R}$

$\mathbb{H} = 1 \times x + i \times y + j \times z + k \times u \ | \ x, i, j, k \in \mathbb{R} \ (\text{dim}_{\mathbb{R}}\mathbb{H} = 4)$.

9.

Вопрос

Дайте определение эллипса как геометрического места точек. Выпишите его каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет эллипса? В каких пределах он может меняться?

Формулировка

Эллипсом называют геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна.

1. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ – каноническое уравнение эллипса

2. $A_1, A_2, B_1, B_2$ – вершины эллипса

3. $a$ – большая полуось, $b$ – малая полуось, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.

4. $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ – эксцентриситет эллипса

5. $d_1: x = \frac{a}{e}$ и $d_2: x = -\frac{a}{e}$ – директрисы эллипса.

Замечание. Эксцентриситет эллипса лежит на полуинтервале $[0, 1)$ и служит мерой «сплюснутости» эллипса. При $e = 0, c = 0 \Rightarrow F_1 = F_2$ эллипс превращается в окружность. При $e \rightarrow 1, c \rightarrow 1$ эллипс вырождается в отрезок $F_1F_2$.

10.

Вопрос

Дайте определение гиперболы как геометрического места точек. Выпишите её каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет гиперболы? В каких пределах он может меняться?

Формулировка

Гиперболой называют геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянен.

1. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ – каноническое уравнение гиперболы

2. $A_1, A_2$ – вершины

3. $a$ – действительная (фокальная) полуось, $b$ – мнимая полуось, $2c$ – расстояние между фокусами

4. $\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1$ – эксцентриситет эллипса

5. $d_1: x = \frac{\epsilon}{a}$ и $d_2: x = -\frac{\epsilon}{a}$ – директрисы гиперболы

Замечание. Эксцентриситет гиперболы $\epsilon = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1$ (при $e \rightarrow \infty$ гипербола вырождается в два луча) характеризует угол между асимптотами.

11.

Вопрос

Дайте определение параболы как геометрического места точек. Выпишите её каноническое уравнение. Что такое параметр параболы, каков его геометрический смысл?

Формулировка

Параболой называют геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

1. $y^2 = 2px$ – каноническое уравнение гиперболы

2. $F$ – фокус

3. $p$ – параметр параболы

Замечание. Число $p$ равно расстоянию от фокуса до директрисы.

12.

Вопрос

Сформулируйте теорему о классификации кривых второго порядка (нужны только названия возможных геометрических случаев).

Формулировка

Для любой кривой второго порядка существует ПДСК $Oxy$, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:

13.

Вопрос

Дайте определение цилиндрической поверхности. Приведите пример цилиндра второго порядка, отличного от эллиптического.

Формулировка

Определение. Рассмотрим кривую $\gamma$, лежащую в некоторой плоскости $P$, и прямую $L$, не лежащую в $P$. Цилиндрической поверхностью называют множество всех прямых, параллельных $L$ и пересекающих $\gamma$.

Пример. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.

14.

Вопрос

Дайте определение линейчатой поверхности. Приведите два примера линейчатых поверхностей, не являющихся цилиндрическими поверхностями.

Формулировка

Определение. Линейчатой называют поверхность, образованную движением прямой линии.

Пример. Любой цилиндр является линейчатой поверхностью. Гиперболоиды и конус так же являются линейчатыми поверхностями.

15.

Вопрос

Запишите канонические уравнения эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров. Для каждой поверхности указать на сколько частей она делит трехмерное пространство.

16.

Вопрос

Запишите канонические уравнения эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида. Для каждой поверхности указать на какое число частей она делит трехмерное пространство.

17.

Вопрос

Запишите канонические уравнения эллиптического параболоида, гиперболического параболоида. Для каждой поверхности указать на сколько частей она делит трехмерное пространство.

18.

Вопрос

Дайте определение линейного функционала.

Формулировка

Сопряженное (двойственное) пространство

Определение: Отображение $f: V \rightarrow F$, где $V$ -- линейное пространство над полем $F$, называется линейной формой (функционалом), если выполняются следующие условия:

1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для любых $x, y \in V$;

2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для любых $\alpha \in F$ и $x \in V$.

19.

Вопрос

Дайте определение сопряженного пространства.

Формулировка

Пространством, сопряженным к лин. пр-ву $V$ над $\mathbb{F}$ наз-ся лин. пр-во всех линейных форм на пр-ве $V_{\mathbb{F}}$ со след. операциями:

$\forall x \in V$

1. $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)$

2. $(\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x) \quad \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall x \in V$

20.

Вопрос

Выпишите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.

Формулировка

Пусть $e$ и $g$ – два базиса в $V$. Тогда $$[f]_g = [f]_e \cdot T_{e \rightarrow g}$$

21.

Вопрос

Дайте определение взаимных базисов.

Формулировка

Базис $e = (e_1, ..., e_n)$ в линейном пространстве $L$ и базис $f = (f^1, ..., f^n)$ в $L^*$ называются взаимными, если $$f^i(e_j) = \delta_j^i = \begin{cases} 1, \ i = j \\ 0, \ i \neq j\end{cases}$$

22.

Вопрос

Выпишите явно изоморфизм между конечномерным евклидовым пространством и пространством, которое ему сопряжено.

Формулировка

Утв: $\forall$ евкл. пр-во изоморфно своему сопряженному. ($\exists : E \cong E^*$)

Доказательство (для собственного развития)

Построим этот изоморфизм.

$a \in E \mapsto f_a(x) = (a, x) \in E^*$

Покажем, что $\varphi$ – гом-ый лин. оп-р:

$\varphi(a_1 + a_2) = (a_1 + a_2, x) = (a_1, x) + (a_2, x) = \varphi(a_1) + \varphi(a_2)$.

$\varphi(\lambda a) = (\lambda a, x) = \lambda (a, x) = \lambda \varphi(a) \Rightarrow \text{ гом-изм.}$

Оно сюръективно, т.к. $\forall$ лин. ф-ция будет $a_1x_1 + ... + a_n x_n$, т.к. $a$ записана в нек. ОНБ как $(a_1x)$, где $a = (a_1 ... a_n)$ – проекция.

Оно инъективно $\Rightarrow$ это изоморфизм

Список вопросов с доказательством

1.

Вопрос

Докажите, что для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует единственный сопряженный оператор.

Формулировка

Теорема. Для любого линейного оператора в евклидовом пространстве существует единственный сопряжённый оператор $A^*: E \rightarrow E$, причём его матрицей в базисе $b$ будет матрица $A_b^* = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$, где $\Gamma$ – матрица Грама базиса $b$.

Доказательство

Покажем, что л.о. с матрицей $B = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$ является сопряжённой к данному л.о.

Проверим выполнение равенства:

$\forall x, y \in E$ $(Ax, y) = (x, By)$

Пусть $x^b, y^b$ – столбцы координат векторов в базисе $b$. Тогда $(Ax)^b = A_b x^b$ и $(x,y) = x^T\Gamma y$ – матричная запись скалярного произведения. Тогда:

$\underbrace{(Ax)^b \Gamma y^b}_{\tiny{(x^b)^TA_b^T \Gamma y^b}} = (x^b)^T \Gamma (By)^b$ – скалярное произведение в матричной форме

$(x^b)^T \cdot A_b^T \cdot \Gamma \cdot y^b = (x^b)^T \Gamma (By)^b \stackrel{\text{лемма}}{\Rightarrow} \Gamma B_b = A_b^T \Gamma \Rightarrow B_b = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$ ($\exists \Gamma^{-1}$, т.к. $\det \Gamma > 0$) $\square$

2.

Вопрос

Сформулируйте и докажите свойство собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям.

Формулировка

Утверждение. С.в. самосопряжённого л.о., отвечающее различным с.з., ортогональны.

Доказательство.

Пусть $Ax_1 = \lambda_1 x_1$, $x_1 \neq 0$, $Ax_2 = \lambda_2 x_2$, $x_2 \neq 0$, $\lambda_1 \neq \lambda_2$ (т.е. $x_1, x_2$ – с.в., соответствующие с.з. $\lambda_1, \lambda_2$).

$\begin{cases} (Ax_1, x_2) = (\lambda_1 x_1, x_2) = \lambda_1(x_1, x_2) \\ (x_1, Ax_2) = (x_1, \lambda_2 x_2) = \lambda_2 (x_1, x_2) \end{cases} \Rightarrow \underbrace{(\lambda_1 - \lambda_2)}_{\neq 0}(x_1, x_2) = 0 \Rightarrow x_1, x_2$ ортогональны $\square$

3.

Вопрос

Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? Ответ обоснуйте.

Формулировка

Теорема. Все корни характеристического уравнения самосопряжённого линейного оператора являются действительными числами.

Доказательство

Пусть $\tilde{\lambda} \in \mathbb{C}$ – корень характеристического уравнения $\chi_a(\lambda) = 0$, то есть выполнено $\det(A - \lambda \overline{E}) = 0$.

Тогда СЛАУ $(A - \tilde{\lambda} E)x = 0$ имеет ненулевое решение, состоящее из $x_k \in \mathbb{C}$, $k = \overline{1, n}$:

Рассмотрим столбец сопряжённых (комплексно) элементов: $$\overline{x} = \begin{pmatrix} \overline{x_1}\\ \vdots\\ \overline{x_n} \end{pmatrix}$$

Умножим СЛАУ на $\overline{x}^T$ ($*^\text{T}$ обозначение) слева:

$\overline{x}^T(A - \tilde{\lambda} E)x = 0 \Leftrightarrow \overline{x}^T Ax - \tilde{\lambda} \overline{x}^T x = 0$

$\overline{x}^T x = \overline{x_1}x_1 + ... + \overline{x_n}x_n = \underbrace{|x_1|^2 + ... + |x_n|^2}_{\in \mathbb{R}} > 0$, т.к. решение ненулевое (с.в.).

Тогда: $$\tilde{\lambda} = \frac{\overline{x}^T Ax}{\overline{x}^T x} - \text{отношение Рэлея}$$

Если докажем, что $z = \overline{x}^T Ax$ является вещественным числом, то $\tilde{\lambda}$ тоже будет вещественным:

$z = \overline{x}^T Ax = \overline{x}^T = (\overline{x}^T A x)^T = \overline{x}^T A^T (\overline{x}^T)^T = \overline{x}^T A^T x \stackrel{A = A^T}{=} \overline{x}^T Ax = \overline{z}$

Т.к. матрица вещественная:

$z= \overline{x}^T Ax = \overline{x}^T \cdot A \cdot x = \overline{x^T Ax} \Rightarrow z = \overline{z} \Rightarrow z \in \mathbb{R} \Rightarrow \tilde{\lambda} = \frac{z}{\overline{x}^Tx} \in \mathbb{R}$ $\square$

4.

Вопрос

Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов. Приведите доказательство в случае различных вещественных собственных значений.

Формулировка

Теорема. Если с.з. $\lambda_1, ..., \lambda_n$ самосопряжённого л.о. $A: E \rightarrow E$, $\text{dim }E = n$, попарно различны, то в $E$ существует ОНБ, в котором матрица оператора $A$ имеет диагональный вид.

Доказательство

Т.к. $\lambda_1, ..., \lambda_n$ – попарно различны, то, выбрав для каждого с.з. соответствующий ему с.в., получим систему ненулевых векторов. По утверждению об ортогональности с.в., отвечающих различным с.з., это будет ортогональная система. Она л.н.з. и содержит $n$ векторов. Значит, она является базисом в $E$ (т.к. $\text{dim } E = n$). Это ортогональный базис. Чтобы получить ОНБ нужно разделить каждый вектор на его норму. Векторы не перестают быть собственными, значит, это исходный базис. $\square$

5.

Вопрос

Сформулируйте и докажите критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.

Формулировка

Теорема. Матрица л.о. $A$ в ОНБ ортогональна $\Leftrightarrow$ $A$ – ортогональный л.о.

Доказательство

• Необходимость. Дано: Матрица л.о. $A$ ортогональна в ОНБ $e$.

Доказать: $A$ – ортогональный линейный оператор.

Так как $A_e^T \cdot A_e = E \Rightarrow \forall x, y \in E$, для их координат в базисе $e$ $x \mapsto \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}, y \mapsto \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}$ выполнено:

$(Ax, Ay) = \begin{pmatrix} \vdots\\ A_e\\ \vdots \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} \vdots\\ A_e\\ \vdots \end{pmatrix} = (x_1 ... x_n) (A_e^T \cdot A_e) \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} = (x_1 ... x_n) E \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} = (x, y)$

Т.е. $\forall x, y \in E$ $(Ax, Ay) = (x, y) \Rightarrow$ $A$ – ортогональный линейный оператор по определению.

• Достаточность. Дано: $A$ – ортогональный линейный оператор.

Доказать: Матрица л.о. $A$ ортогональна в ОНБ $e$.

По определению: $\forall x, y \in E$ $(Ax, Ay) = (x, y)$.

В любом ОНБ в координатах это можно записать так: $$(A_e x^e)^T \cdot E \cdot (A_e y^e) = (x^e)^T \cdot y^e \Rightarrow (x^e)^T \cdot A_e^T \cdot A_e \cdot y^e = (x^e)^T \cdot E \cdot y^e$$ По лемме: $A_e^T \cdot A_e = E$. $\square$

6.

Вопрос

Сформулируйте и докажите теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Верно ли обратное? Ответ обоснуйте.

Формулировка

Теорема. Пусть $A: E \rightarrow E$. Тогда $A$ – ортогональный л.о. $\Leftrightarrow$ ОНБ $e_1, ..., e_n$ переходит в ОНБ $Ae_1, ..., Ae_n$.

Доказательство

• Необходимость. Дано: $A$ – ортогональный л.о. и $e_1, ..., e_n$ – ОНБ.

Доказать: $Ae_1, ..., Ae_n$ – ОНБ. $$(Ae_i, Ae_j) = (e_i, e_j) = \begin{cases}1, i=j\\0, i \neq j\end{cases}$$

$e_1, ..., e_n$ – ОНБ $\implies$ система векторов $\{Ae_i\}_{i=1}^n$ состоит из ненулевых векторов и попарно ортогональна – это ОНБ из $n$ векторов $\Rightarrow$ базис в $E$.

• Достаточность. Дано: $Ae_1, ..., Ae_n$ – ОНБ и $e_1, ..., e_n$ – ОНБ.

Доказать: $A$ – ортогональный л.о.

Рассмотрим соответствие $x \mapsto (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ в базисе $e_1, ..., e_n$.

Заметим, что $Ax \mapsto (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ в базисе $Ae_1, ..., Ae_n$, т.к. для линейного оператора выполняется: $Ax = A(x_1e_1 + ... + x_ne_n) = x_1Ae_1 + ... + x_nAe_n$.

Найдём скалярное произведение в ОНБ $e_1, ..., e_n$ и $Ae_1, ..., Ae_n$ соответственно: $$(x, y) = x_1y_1 + ... + x_ny_n \text{ в ОНБ } e_1, ..., e_n \\ Ax, Ay) = x_1y_1 + ... + x_ny_n \text{ в ОНБ } Ae_1, ..., Ae_n$$

$\forall x,y \in E (Ax, Ay) = (x,y) \Rightarrow$ оператор по определению ортогональный. $\square$

7.

Вопрос

Сформулируйте и докажите теорему о приведении квадратичных форм к диагональному виду при помощи ортогональной замены координат.

Формулировка

Теорема. Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду.

Доказательство

Матрица квадратичной формы является симметрической (матрица $n \times n$). Рассмотрим $n$-мерное евклидово пространство $E$ и некоторый ОНБ в нём. Тогда матрица квадратичной формы $B$ является матрицей некоторого самосопряжённого линейного оператора, так как $B = B^{T}$.

Пусть матрица л.о. $A$ совпадает с $B$. Так как по теореме для самосопряжённого л.о. существует ОНБ из с.в., для л.о. с матрицей $A$ существует новый ОНБ, в котором его матрица диагональна.

Пусть $U$ – матрица перехода к этому базису. Она ортогональна.

Тогда в новом базисе матрица л.о. будет иметь вид: $$A' = U^{-1}AU$$ А матрица квадратичной формы $B$ в новом базисе имеет вид: $$B' = U^{T}BU$$ Но $U^{T} = U^{-1}$, т.к. $U$ – ортогональная матрица. Значит, если $A = B$, то:

Т.е. матрица квадратичной формы тоже будет диагональной. Это означает, что в этом базисе матрица квадратичной формы $B'$ приведена к каноническому виду. $\square$

8.

Формулировка

Сформулируйте и докажите теорему о спектральном разложении симметрической матрицы.

Формулировка

Теорема (о спектральном разложении).

Для $\forall$ симметрической м-цы $A$ $\exists$ такое ортогональное м-ца перехода $U$, что $A = U\Lambda U^T$, где $\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$ – диагональная м-ца с с.з. $\lambda_i$ оп-ра с матрицей $A$, повторяющимися соотв. их кратности.

Доказательство

Т.е. $\forall$ симметрическая кв. м-ца ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду.

$\square$ Рассм. м-цу $A$ как м-цу самосопр. л.о. в нек. ОНБ $e = \{e_1, ..., e_n\}$.

Для самосопр. л.о. всегда $\exists$ ОНБ (из собств. векторов) $f = \{f_1, ..., f_n\}$, в которой его м-ца диагональна : $\Lambda = C_{e \rightarrow f}^{-1} \cdot A_e \cdot C_{e \rightarrow f}$.

Здесь $C_{e \rightarrow f}$ – м-ца перехода от ОНБ $e$ к ОНБ $f$ $\Rightarrow$ по утр. она ортогональна, т.е. $C_{e \rightarrow f}^{-1} = C_{e \rightarrow f}^T$. Возьмём $U = C_{e \rightarrow f}$, тогда $\Lambda = U^T AU \Rightarrow A = U \Lambda U^T$.

9.

Вопрос

Сформулируйте и докажите утверждение о QR-разложении.

Формулировка

Утверждение (о QR-разложении). Пусть $A \in M_m(\mathbb{R})$, и столбцы $A_1, ..., A_m$ – л.н.з. Тогда существуют матрицы $Q$ и $R$, такие что $A = QR$, где $Q$ – ортогональные матрицы, $R$ – верхнетреугольные.

Доказательство

Применим к столбцам $A_1, ..., A_m$ процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Получим столбцы $Q_1, ..., Q_m$ – ОНБ в $Im A$. Заметим, что $A_k \in L(Q_1, ..., Q_m), k = \overline{1, m}$ (по формулам Грама-Шмидта мы используем только столбцы с меньшими или равными номерами). Тогда

В матричной форме: $$A = QR \text{, где } Q = (Q_1 | ... | Q_m), R = \begin{pmatrix} r_{11} & \dots & r_{1m}\\ & \ddots & \vdots\\ 0 & & r_{mm} \end{pmatrix}$$

Матрица $Q$ является ортогональной, так как $Q_1, ..., Q_m$ образуют ОНБ. $\square$

10.

Вопрос

Сформулируйте и докажите утверждение о полярном разложении.

Формулировка

Утверждение (полярное разложение). Любой линейный оператор в евклидовом пространстве представляется в виде композиции симметрического и ортогонального $A = S \cdot U$, $S$ – симметрический л.о., $U$ – ортогональный л.о.

Доказательство

Возьмём сингулярное разложение $A = Q\Sigma P^T$, где $Q, P$ – ортогональные. Пусть $S = Q\Sigma Q^T$, a $U = QP^T$. Тогда выполнено: $$A = SU = Q\Sigma Q^T \cdot QP^T = Q\Sigma \cdot E \cdot P^T = Q\Sigma P^T - \text{верно}$$ Проверим, является ли $S$ симметрической: $$S^T = (Q\Sigma Q^T)^T = (Q^T)^T \Sigma^T Q^T = Q\Sigma Q^T = S$$

Матрица $U$ является ортогональной, так как она является произведением двух ортогональных матриц. $\square$

11.

Вопрос

Выпишите и докажите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.

Формулировка

Пусть $e$ и $g$ – два базиса в $V$. Тогда $$[f]_g = [f]_e \cdot T_{e \rightarrow g}$$

Доказательство

Результат действия $f$ не зависит от базиса:

Разложение по базису единственно:

$\square$