Бумажка базируется на [других бумажках](https://github.com/adarunova/Algebra-HSE-SE/tree/year-2021/2022) от Аруновой Анастасии # Список вопросов без доказательства ## 1. #### Вопрос Сформулируйте теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. #### Формулировка **Теорема.** Пусть $A: E \rightarrow E$. Тогда $A$ – ортогональный л.о. $\Leftrightarrow$ ОНБ $e_1, ..., e_n$ переходит в ОНБ $Ae_1, ..., Ae_n$. ## 2. #### Вопрос Сформулируйте теорему о спектральном разложении симметрической матрицы. #### Формулировка **Теорема (о спектральном разложении).** Для $\forall$ симметрической м-цы $A$ $\exists$ такое ортогональное м-ца перехода $U$, что $A = U\Lambda U^T$, где $\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$ – диагональная м-ца с с.з. $\lambda_i$ оп-ра с матрицей $A$, повторяющимися соотв. их кратности. ## 3. #### Вопрос Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к диагональному виду при помощи ортогональной замены координат. #### Формулировка Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду. ## 4. #### Вопрос Сформулируйте утверждение о QR-разложении. #### Формулировка **Утверждение (о QR-разложении).** Пусть $A \in M_m(\mathbb{R})$, и столбцы $A_1, ..., A_m$ – л.н.з. Тогда существуют матрицы $Q$ и $R$, такие что $A = QR$, где $Q$ – ортогональные матрицы, $R$ – верхнетреугольные. ## 5. #### Вопрос Сформулируйте теорему о сингулярном разложении. #### Формулировка **Теорема \(о сингулярном разложении\).** Для любой прямоугольной матрицы $A \in M_{mn}(\mathbb{R})$ имеет место следующее разложение: $$A = V\Sigma U^T $$ Оно называется сингулярным \(SVD\). Здесь $U \in O_n (\mathbb{R})$, $V \in O_m (\mathbb{R})$ – ортогональные матрицы, $\Sigma \in M_{mn}(\mathbb{R})$ – диагональная матрица с $\sigma_i \geq 0$ на диагонали. Причём, что $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_r > 0$, $r = \text{Rg }A$. Числа $\sigma_i$ называются сингулярными. ## 6. #### Вопрос Сформулируйте утверждение о полярном разложении. #### Формулировка **Утверждение (полярное разложение).** Любой линейный оператор в евклидовом пространстве представляется в виде композиции симметрического и ортогонального $A = S \cdot U$, $S$ – симметрический л.о., $U$ – ортогональный л.о. ## 7. #### Вопрос Сформулируйте теорему о приведении квадратичных форм к диагональному виду \(к главным осям\) при помощи ортогональной замены координат. #### Формулировка (совпадает с 3???) Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду. ## 8. #### Вопрос Сформулируйте определение алгебры над полем. Приведите два примера. #### Формулировка Пусть $A$ – вект. пр-во над нек. полем $\mathbb{F}$, снабжённое доп. операцией умножения векторов $\times: A \times A \rightarrow A$. $A$ наз. **алгеброй** над полем $\mathbb{F}$, если $\forall x, y, z \in A$ $\quad$ $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}$ 1) $(x + y) \times z = x \times z + y \times z$ 2) $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$ 3) $(\alpha x) \times (\beta y) = (\alpha \beta) (x \times y)$ **Примеры:** 1) $\mathbb{C}$ с об. обумножением над $\mathbb{R}$ ($ \text{dim}_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2$). Доп. операция – умнож. к. чисел. 2) $\mathbb{F}[x]$ – многочлены над полем $\mathbb{F}$ ($ \text{dim}_{\mathbb{F}} \mathbb{F}[x] = \infty$, есть баз. $1, x, x^2, ...$). Опер. – умножение многочленов 3) $M_n (\mathbb{R})$ – кв. м-цы с опер. умножения м-ц ($ \text{dim}_{\mathbb{R}} M_n (\mathbb{R}) = n^2$). 4) Кватернионы над $\mathbb{R}$ $\mathbb{H} = 1 \times x + i \times y + j \times z + k \times u \ | \ x, i, j, k \in \mathbb{R} \ (\text{dim}_{\mathbb{R}}\mathbb{H} = 4)$. ## 9. #### Вопрос Дайте определение эллипса как геометрического места точек. Выпишите его каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет эллипса? В каких пределах он может меняться? #### Формулировка Эллипсом называют геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна. 1) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ – каноническое уравнение эллипса 2) $A_1, A_2, B_1, B_2$ – вершины эллипса 3) $a$ – большая полуось, $b$ – малая полуось, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. 4) $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ – эксцентриситет эллипса 5) $d_1: x = \frac{a}{e}$ и $d_2: x = -\frac{a}{e}$ – директрисы эллипса. **Замечание.** Эксцентриситет эллипса лежит на полуинтервале $[0, 1)$ и служит мерой «сплюснутости» эллипса. При $e = 0, c = 0 \Rightarrow F_1 = F_2$ эллипс превращается в окружность. При $e \rightarrow 1, c \rightarrow 1$ эллипс вырождается в отрезок $F_1F_2$. ## 10. #### Вопрос Дайте определение гиперболы как геометрического места точек. Выпишите её каноническое уравнение. Что такое эксцентриситет гиперболы? В каких пределах он может меняться? #### Формулировка Гиперболой называют геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянен. 1. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ – каноническое уравнение гиперболы 2. $A_1, A_2$ – вершины 3. $a$ – действительная \(фокальная\) полуось, $b$ – мнимая полуось, $2c$ – расстояние между фокусами 4. $\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1$ – эксцентриситет эллипса 5. $d_1: x = \frac{\epsilon}{a}$ и $d_2: x = -\frac{\epsilon}{a}$ – директрисы гиперболы **Замечание.** Эксцентриситет гиперболы $\epsilon = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 1$ \(при $e \rightarrow \infty$ гипербола вырождается в два луча\) характеризует угол между асимптотами. ## 11. #### Вопрос Дайте определение параболы как геометрического места точек. Выпишите её каноническое уравнение. Что такое параметр параболы, каков его геометрический смысл? #### Формулировка Параболой называют геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). 1) $y^2 = 2px$ – каноническое уравнение гиперболы 2) $F$ – фокус 3) $p$ – параметр параболы **Замечание.** Число $p$ равно расстоянию от фокуса до директрисы. ## 12. #### Вопрос Сформулируйте теорему о классификации кривых второго порядка (нужны только названия возможных геометрических случаев). #### Формулировка Для любой кривой второго порядка существует ПДСК $Oxy$, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов: ## 13. #### Вопрос Дайте определение цилиндрической поверхности. Приведите пример цилиндра второго порядка, отличного от эллиптического. #### Формулировка **Определение.** Рассмотрим кривую $\gamma$, лежащую в некоторой плоскости $P$, и прямую $L$, не лежащую в $P$. Цилиндрической поверхностью называют множество всех прямых, параллельных $L$ и пересекающих $\gamma$. **Пример.** Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. ## 14. #### Вопрос Дайте определение линейчатой поверхности. Приведите два примера линейчатых поверхностей, не являющихся цилиндрическими поверхностями. #### Формулировка **Определение.** Линейчатой называют поверхность, образованную движением прямой линии. **Пример.** Любой цилиндр является **линейчатой** поверхностью. Гиперболоиды и конус так же являются линейчатыми поверхностями. ## 15. #### Вопрос Запишите канонические уравнения эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров. Для каждой поверхности указать на сколько частей она делит трехмерное пространство. ## 16. #### Вопрос Запишите канонические уравнения эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида. Для каждой поверхности указать на какое число частей она делит трехмерное пространство. ## 17. #### Вопрос Запишите канонические уравнения эллиптического параболоида, гиперболического параболоида. Для каждой поверхности указать на сколько частей она делит трехмерное пространство. ## 18. #### Вопрос Дайте определение линейного функционала. #### Формулировка **Сопряженное (двойственное) пространство** **Определение:** Отображение $f: V \rightarrow F$, где $V$ -- линейное пространство над полем $F$, называется **линейной формой (функционалом)**, если выполняются следующие условия: 1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для любых $x, y \in V$; 2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для любых $\alpha \in F$ и $x \in V$. ## 19. #### Вопрос Дайте определение сопряженного пространства. #### Формулировка Пространством, *сопряженным* к лин. пр-ву $V$ над $\mathbb{F}$ наз-ся лин. пр-во всех линейных форм на пр-ве $V_{\mathbb{F}}$ со след. операциями: $\forall x \in V$ 1) $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)$ 2) $(\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x) \quad \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall x \in V$ ## 20. #### Вопрос Выпишите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. #### Формулировка Пусть $e$ и $g$ – два базиса в $V$. Тогда $$[f]_g = [f]_e \cdot T_{e \rightarrow g}$$ ## 21. #### Вопрос Дайте определение взаимных базисов. #### Формулировка Базис $e = (e_1, ..., e_n)$ в линейном пространстве $L$ и базис $f = (f^1, ..., f^n)$ в $L^*$ называются взаимными, если $$f^i(e_j) = \delta_j^i = \begin{cases} 1, \ i = j \\ 0, \ i \neq j\end{cases} $$ ## 22. #### Вопрос Выпишите явно изоморфизм между конечномерным евклидовым пространством и пространством, которое ему сопряжено. #### Формулировка **Утв:** $\forall$ евкл. пр-во изоморфно своему сопряженному. ($\exists : E \cong E^*$) #### Доказательство (для собственного развития) Построим этот изоморфизм. $a \in E \mapsto f_a(x) = (a, x) \in E^*$ Покажем, что $\varphi$ – гом-ый лин. оп-р: $\varphi(a_1 + a_2) = (a_1 + a_2, x) = (a_1, x) + (a_2, x) = \varphi(a_1) + \varphi(a_2)$. $\varphi(\lambda a) = (\lambda a, x) = \lambda (a, x) = \lambda \varphi(a) \Rightarrow \text{ гом-изм.}$ Оно сюръективно, т.к. $\forall$ лин. ф-ция будет $a_1x_1 + ... + a_n x_n$, т.к. $a$ записана в нек. ОНБ как $(a_1x) $, где $a = (a_1 ... a_n)$ – проекция. Оно инъективно $\Rightarrow$ это изоморфизм # Список вопросов с доказательством ## 1. #### Вопрос Докажите, что для любого оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует единственный сопряженный оператор. #### Формулировка **Теорема.** Для любого линейного оператора в евклидовом пространстве существует единственный сопряжённый оператор $A^*: E \rightarrow E$, причём его матрицей в базисе $b$ будет матрица $A_b^* = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$, где $\Gamma$ – матрица Грама базиса $b$. #### Доказательство Покажем, что л.о. с матрицей $B = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$ является сопряжённой к данному л.о. Проверим выполнение равенства: $\forall x, y \in E$ $(Ax, y) = (x, By)$ Пусть $x^b, y^b$ – столбцы координат векторов в базисе $b$. Тогда $(Ax)^b = A_b x^b$ и $(x,y) = x^T\Gamma y$ – матричная запись скалярного произведения. Тогда: $\underbrace{(Ax)^b \Gamma y^b}_{\tiny{(x^b)^TA_b^T \Gamma y^b}} = (x^b)^T \Gamma (By)^b$ – скалярное произведение в матричной форме $(x^b)^T \cdot A_b^T \cdot \Gamma \cdot y^b = (x^b)^T \Gamma (By)^b \stackrel{\text{лемма}}{\Rightarrow} \Gamma B_b = A_b^T \Gamma \Rightarrow B_b = \Gamma^{-1}A_b^T \Gamma$ ($\exists \Gamma^{-1}$, т.к. $\det \Gamma > 0$) $\square$ ## 2. #### Вопрос Сформулируйте и докажите свойство собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. #### Формулировка **Утверждение.** С.в. самосопряжённого л.о., отвечающее различным с.з., ортогональны. #### Доказательство. Пусть $Ax_1 = \lambda_1 x_1$, $x_1 \neq 0$, $Ax_2 = \lambda_2 x_2$, $x_2 \neq 0$, $\lambda_1 \neq \lambda_2$ (т.е. $x_1, x_2$ – с.в., соответствующие с.з. $\lambda_1, \lambda_2$). $ \begin{cases} (Ax_1, x_2) = (\lambda_1 x_1, x_2) = \lambda_1(x_1, x_2) \\ (x_1, Ax_2) = (x_1, \lambda_2 x_2) = \lambda_2 (x_1, x_2) \end{cases} \Rightarrow \underbrace{(\lambda_1 - \lambda_2)}_{\neq 0}(x_1, x_2) = 0 \Rightarrow x_1, x_2$ ортогональны $\square$ ## 3. #### Вопрос Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? Ответ обоснуйте. #### Формулировка **Теорема.** Все корни характеристического уравнения самосопряжённого линейного оператора являются действительными числами. #### Доказательство Пусть $\tilde{\lambda} \in \mathbb{C}$ – корень характеристического уравнения $\chi_a(\lambda) = 0$, то есть выполнено $\det(A - \lambda \overline{E}) = 0$. Тогда СЛАУ $(A - \tilde{\lambda} E)x = 0$ имеет ненулевое решение, состоящее из $x_k \in \mathbb{C}$, $k = \overline{1, n}$: $$x = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}$$ Рассмотрим столбец сопряжённых \(комплексно\) элементов: $$\overline{x} = \begin{pmatrix} \overline{x_1}\\ \vdots\\ \overline{x_n} \end{pmatrix}$$ Умножим СЛАУ на $\overline{x}^T$ ($*^\text{T}$ обозначение) слева: $\overline{x}^T(A - \tilde{\lambda} E)x = 0 \Leftrightarrow \overline{x}^T Ax - \tilde{\lambda} \overline{x}^T x = 0$ $\overline{x}^T x = \overline{x_1}x_1 + ... + \overline{x_n}x_n = \underbrace{|x_1|^2 + ... + |x_n|^2}_{\in \mathbb{R}} > 0$, т.к. решение ненулевое (с.в.). Тогда: $$\tilde{\lambda} = \frac{\overline{x}^T Ax}{\overline{x}^T x} - \text{отношение Рэлея}$$ Если докажем, что $z = \overline{x}^T Ax $ является вещественным числом, то $\tilde{\lambda}$ тоже будет вещественным: $z = \overline{x}^T Ax = \overline{x}^T = (\overline{x}^T A x)^T = \overline{x}^T A^T (\overline{x}^T)^T = \overline{x}^T A^T x \stackrel{A = A^T}{=} \overline{x}^T Ax = \overline{z}$ Т.к. матрица вещественная: $z= \overline{x}^T Ax = \overline{x}^T \cdot A \cdot x = \overline{x^T Ax} \Rightarrow z = \overline{z} \Rightarrow z \in \mathbb{R} \Rightarrow \tilde{\lambda} = \frac{z}{\overline{x}^Tx} \in \mathbb{R}$ $\square$ ## 4. #### Вопрос Сформулируйте теорему о существовании для самосопряженного оператора базиса из собственных векторов. Приведите доказательство в случае различных вещественных собственных значений. #### Формулировка **Теорема.** Если с.з. $\lambda_1, ..., \lambda_n$ самосопряжённого л.о. $A: E \rightarrow E$, $\text{dim }E = n$, попарно различны, то в $E$ существует ОНБ, в котором матрица оператора $A$ имеет диагональный вид. #### Доказательство Т.к. $\lambda_1, ..., \lambda_n$ – попарно различны, то, выбрав для каждого с.з. соответствующий ему с.в., получим систему ненулевых **векторов**. По утверждению об ортогональности с.в., отвечающих различным с.з., это будет ортогональная система. Она л.н.з. и содержит $n$ **векторов**. Значит, она является базисом в $E$ (т.к. $\text{dim } E = n$). Это ортогональный базис. Чтобы получить ОНБ нужно разделить каждый вектор на его норму. Векторы не перестают быть собственными, значит, это исходный базис. $\square$ ## 5. #### Вопрос Сформулируйте и докажите критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. #### Формулировка **Теорема.** Матрица л.о. $A$ в ОНБ ортогональна $\Leftrightarrow$ $A$ – ортогональный л.о. #### Доказательство * **Необходимость.** Дано: Матрица л.о. $A$ ортогональна в ОНБ $e$. Доказать: $A$ – ортогональный линейный оператор. Так как $A_e^T \cdot A_e = E \Rightarrow \forall x, y \in E$, для их координат в базисе $e$ $x \mapsto \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}, y \mapsto \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}$ выполнено: $(Ax, Ay) = \begin{pmatrix} \vdots\\ A_e\\ \vdots \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} \vdots\\ A_e\\ \vdots \end{pmatrix} = (x_1 ... x_n) (A_e^T \cdot A_e) \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} = (x_1 ... x_n) E \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} = (x, y)$ Т.е. $\forall x, y \in E$ $(Ax, Ay) = (x, y) \Rightarrow$ $A$ – ортогональный линейный оператор по определению. * **Достаточность.** Дано: $A$ – ортогональный линейный оператор. Доказать: Матрица л.о. $A$ ортогональна в ОНБ $e$. По определению: $ \forall x, y \in E$ $(Ax, Ay) = (x, y)$. В любом ОНБ в координатах это можно записать так: $$(A_e x^e)^T \cdot E \cdot (A_e y^e) = (x^e)^T \cdot y^e \Rightarrow (x^e)^T \cdot A_e^T \cdot A_e \cdot y^e = (x^e)^T \cdot E \cdot y^e $$ По лемме: $A_e^T \cdot A_e = E$. $\square$ ## 6. #### Вопрос Сформулируйте и докажите теорему о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный. Верно ли обратное? Ответ обоснуйте. #### Формулировка **Теорема.** Пусть $A: E \rightarrow E$. Тогда $A$ – ортогональный л.о. $\Leftrightarrow$ ОНБ $e_1, ..., e_n$ переходит в ОНБ $Ae_1, ..., Ae_n$. #### Доказательство * **Необходимость.** Дано: $A$ – ортогональный л.о. и $e_1, ..., e_n$ – ОНБ. Доказать: $Ae_1, ..., Ae_n$ – ОНБ. $$(Ae_i, Ae_j) = (e_i, e_j) = \begin{cases}1, i=j\\0, i \neq j\end{cases}$$ $e_1, ..., e_n$ – ОНБ $\implies$ система векторов $\{Ae_i\}_{i=1}^n$ состоит из ненулевых векторов и попарно ортогональна – это ОНБ из $n$ векторов $\Rightarrow$ базис в $E$. * **Достаточность.** Дано: $Ae_1, ..., Ae_n$ – ОНБ и $e_1, ..., e_n$ – ОНБ. Доказать: $A$ – ортогональный л.о. Рассмотрим соответствие $x \mapsto (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ в базисе $e_1, ..., e_n$. Заметим, что $Ax \mapsto (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ в базисе $Ae_1, ..., Ae_n$, т.к. для линейного оператора выполняется: $Ax = A(x_1e_1 + ... + x_ne_n) = x_1Ae_1 + ... + x_nAe_n$. Найдём скалярное произведение в ОНБ $e_1, ..., e_n$ и $Ae_1, ..., Ae_n$ соответственно: $$ (x, y) = x_1y_1 + ... + x_ny_n \text{ в ОНБ } e_1, ..., e_n \\ Ax, Ay) = x_1y_1 + ... + x_ny_n \text{ в ОНБ } Ae_1, ..., Ae_n $$ $\forall x,y \in E (Ax, Ay) = (x,y) \Rightarrow$ оператор по определению ортогональный. $\square$ ## 7. #### Вопрос Сформулируйте и докажите теорему о приведении квадратичных форм к диагональному виду при помощи ортогональной замены координат. #### Формулировка **Теорема.** Любую квадратичную форму можно ортогональным преобразованием привести к каноническому виду. #### Доказательство Матрица квадратичной формы является симметрической (матрица $n \times n$). Рассмотрим $n$-мерное евклидово пространство $E$ и некоторый ОНБ в нём. Тогда матрица квадратичной формы $B$ является матрицей некоторого самосопряжённого линейного оператора, так как $B = B^{T}$. Пусть матрица л.о. $A$ совпадает с $B$. Так как по теореме для самосопряжённого л.о. существует ОНБ из с.в., для л.о. с матрицей $A$ существует новый ОНБ, в котором его матрица диагональна. Пусть $U$ – матрица перехода к этому базису. Она ортогональна. Тогда в новом базисе матрица л.о. будет иметь вид: $$ A' = U^{-1}AU$$ А матрица квадратичной формы $B$ в новом базисе имеет вид: $$ B' = U^{T}BU$$ Но $U^{T} = U^{-1}$, т.к. $U$ – ортогональная матрица. Значит, если $A = B$, то: $$A' = U^{-1}AU = U^{T}AU = U^{T}BU = B'$$ Т.е. матрица квадратичной формы тоже будет диагональной. Это означает, что в этом базисе матрица квадратичной формы $B'$ приведена к каноническому виду. $\square$ ## 8. #### Формулировка Сформулируйте и докажите теорему о спектральном разложении симметрической матрицы. #### Формулировка **Теорема (о спектральном разложении).** Для $\forall$ симметрической м-цы $A$ $\exists$ такое ортогональное м-ца перехода $U$, что $A = U\Lambda U^T$, где $\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$ – диагональная м-ца с с.з. $\lambda_i$ оп-ра с матрицей $A$, повторяющимися соотв. их кратности. #### Доказательство Т.е. $\forall$ симметрическая кв. м-ца ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду. $\square$ Рассм. м-цу $A$ как м-цу самосопр. л.о. в нек. ОНБ $e = \{e_1, ..., e_n\}$. Для самосопр. л.о. всегда $\exists$ ОНБ (из собств. векторов) $f = \{f_1, ..., f_n\}$, в которой его м-ца диагональна : $\Lambda = C_{e \rightarrow f}^{-1} \cdot A_e \cdot C_{e \rightarrow f}$. Здесь $C_{e \rightarrow f}$ – м-ца перехода от ОНБ $e$ к ОНБ $f$ $\Rightarrow$ по утр. она ортогональна, т.е. $C_{e \rightarrow f}^{-1} = C_{e \rightarrow f}^T$. Возьмём $U = C_{e \rightarrow f}$, тогда $\Lambda = U^T AU \Rightarrow A = U \Lambda U^T$. ## 9. #### Вопрос Сформулируйте и докажите утверждение о QR-разложении. #### Формулировка **Утверждение (о QR-разложении).** Пусть $A \in M_m(\mathbb{R})$, и столбцы $A_1, ..., A_m$ – л.н.з. Тогда существуют матрицы $Q$ и $R$, такие что $A = QR$, где $Q$ – ортогональные матрицы, $R$ – верхнетреугольные. #### Доказательство Применим к столбцам $A_1, ..., A_m$ процесс ортогонализации Грама\-Шмидта. Получим столбцы $Q_1, ..., Q_m$ – ОНБ в $Im A$. Заметим, что $A_k \in L(Q_1, ..., Q_m), k = \overline{1, m}$ \(по формулам Грама\-Шмидта мы используем только столбцы с меньшими или равными номерами\). Тогда $$ A_k = \sum\limits_{i=1}^k r_{ik}Q_i, k = \overline{1, m} $$ В матричной форме: $$A = QR \text{, где } Q = (Q_1 | ... | Q_m), R = \begin{pmatrix} r_{11} & \dots & r_{1m}\\ & \ddots & \vdots\\ 0 & & r_{mm} \end{pmatrix} $$ Матрица $Q$ является ортогональной, так как $Q_1, ..., Q_m$ образуют ОНБ. $\square$ ## 10. #### Вопрос Сформулируйте и докажите утверждение о полярном разложении. #### Формулировка **Утверждение (полярное разложение).** Любой линейный оператор в евклидовом пространстве представляется в виде композиции симметрического и ортогонального $A = S \cdot U$, $S$ – симметрический л.о., $U$ – ортогональный л.о. #### Доказательство Возьмём сингулярное разложение $A = Q\Sigma P^T$, где $Q, P$ – ортогональные. Пусть $S = Q\Sigma Q^T$, a $U = QP^T$. Тогда выполнено: $$A = SU = Q\Sigma Q^T \cdot QP^T = Q\Sigma \cdot E \cdot P^T = Q\Sigma P^T - \text{верно} $$ Проверим, является ли $S$ симметрической: $$S^T = (Q\Sigma Q^T)^T = (Q^T)^T \Sigma^T Q^T = Q\Sigma Q^T = S$$ Матрица $U$ является ортогональной, так как она является произведением двух ортогональных матриц. $\square$ ## 11. #### Вопрос Выпишите и докажите формулу для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. #### Формулировка Пусть $e$ и $g$ – два базиса в $V$. Тогда $$[f]_g = [f]_e \cdot T_{e \rightarrow g}$$ #### Доказательство Результат действия $f$ не зависит от базиса: $$[f]_g \cdot x_g = [f]_e \cdot x_e$$ $$ x_g = T_{e \rightarrow g}^{-1} \cdot x_e \Leftrightarrow x_e = T_{e \rightarrow g} \cdot x_g$$ Разложение по базису единственно: $$[f]_g = [f]_e \cdot T_{e \rightarrow g}$$ $\square$