Алгебра. Определения 4 модуля.

В процессе составления использовались материалы Аруновой Анастасии

1. Дайте определения билинейной формы и матрицы билинейной формы.

Пусть $V$ - линейное пространство над $\R$

Определение. Функцию $b: V \times V \rightarrow \R$ называют $\underline{билинейной\ формой}$ (б. ф.), если $\forall x, y, z \in V$ и $\forall \alpha, \beta \in \R$:

1. $b (\alpha \cdot x + \beta \cdot y, z) = \alpha \cdot b (x, z) + \beta \cdot b (y, z)$

2. $b (x, \alpha \cdot y + \beta \cdot z) = \alpha \cdot b (x, y) + \beta \cdot b (x, z)$

То есть выполяется линейность по каждому из 2-х аргументов

Определение. Матрица $B_e = (b(e_i, e_j)),\ i = \overline{1, n},\ j = \overline{1, n}$ называется $\underline{матрицей\ билинейной\ формы}$ в базисе $e_1, ..., e_n$

2. Дайте определение квадратичной формы.

Определение. Однородный многочлен от $n$ переменных, то есть выражение вида: $Q(x) = \sum^{n}_{i = 1}{a_{ii} \cdot x_i^2} + 2 \cdot \sum_{1 \leq i < j \leq n}{a_{ij} x_i x_j}$, где $a_{ij} \in \R, x \in \R^n$ называется $\underline{квадратичной\ формой}$.

3. Дайте определения положительной и отрицательной определенности квадратичной формы. Приведите примеры.

Определение. Квадратичная форма $q(x)$ называется

• $\underline{положительно\ определенной}$, если $\forall{x \neq 0}\ q(x) > 0$

• $\underline{отрицательно\ определенной}$, если $\forall{x \neq 0}\ q(x) < 0$

4. Какую квадратичную форму называют знакопеременной?

Квадратичная форма $q(x)$ называется $\underline{знакопеременной}$, если: $$\exist{x, y \in V}\ q(x) < 0 < q(y)$$

Пример.

$q(x) = x_1^2 -x^2_3$ - знакопеременная

($y = (1, 0, 0),\ x = (0, 0, 1) \Rightarrow q(x) < 0 < q(y)$)

5. Дайте определения канонического и нормального вида квадратичной формы.

Определение. Квадратичную форму $Q(x) = \alpha_1 x_1^2 + ... + \alpha_n x^2_n,\ \alpha_1 \in \R,\ i = \overline{1, n}$ (т.е. не имеющую попарных произвольных элементов) называют квадратичной формой $\underline{канонического\ вида}$. Если $\alpha_i \in \{-1, 0, 1\}$, то канонический вид называют $\underline{нормальным}$.

6. Как меняется матрица квадратичной формы при замене базиса?

Утверждение. При переходе от базиса $e$ к базису $e'$ матрица квадратичной формы меняется так: $A' = C^T \cdot A \cdot C$ ("Стас"), где $A'\ -$ матрица квадратичной формы в новом базисе $e'$, $С\ -$ матрица перехода.

7. Сформулируйте критерий Сильвестра и его следствие.

Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма $Q(x)$ от $n$ переменных $x = (x_1,\ \ldots,\ x_n)$ положительно определена $\Leftrightarrow \Delta_1 > 0,\ \ldots,\ \Delta_n > 0$.

Следствие. $Q(x)$ отрицательно определена $\Rightarrow \Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0,\ \ldots,\ (-1)^n \Delta_n > 0$, то есть знаки главных угловых миноров чередуются, начиная с нуля.

8. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Что такое индексы инерции?

Закон инерции квадратичных форм. Для любых двух канонических видов одной квадратичных форм

$q(x) = \lambda_1 \cdot x_1^2 + \lambda_2 \cdot x_2^2 + ... + \lambda_k \cdot x_k^2,\quad \lambda_i \neq 0,\quad i = \overline{1, k}$

$q(y) = \mu_1 \cdot y_1^2 + \mu_2 \cdot y_2^2 + ... + \mu_m \cdot y_m^2,\quad \mu_i \neq 0,\quad j = \overline{1, m}$

(т.е. это запись одной и той же квадратичной формы в разных базисах)

1. $k = m = Rg{A}$ - равно рангу квадратичной формы

   (при этом $k = m$ может быть $< dim\ U= n$)

2. Кол-во положительных $\lambda_i =$ кол-ву положительных $\mu_j$

   (называется положительным индексом инерции квадратичной формы)

   Обозначение. $i_+$

3. Кол-во отрицательных $\lambda_i =$ кол-ву отрицательных $\mu_j$

   (называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы)

   Обозначение. $i_-$

9. Дайте определение линейного отображения. Приведите пример.

Пусть $V_1$ и $V_2$ два линейных (конечномерных) пространства.

Определение. Отображение $\varphi : V_1 \rightarrow V_2$ называется линейным, если

1. $\forall{x, y \in V_1}: \varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$

2. $\forall{x \in V_1}, \forall{\alpha \in F}: \varphi(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot \varphi(x)$

Замечание. Автоматически выполняется $\varphi(\alpha x + \beta y) = \alpha \cdot \varphi(x) + \beta \cdot \varphi(y)$

Пример.

$D: g \rightarrow g'$ в $\R[x]$ (дифференцирование)

Но $Ker\ D \cap Im\ D \neq \{0\}$ и $Ker\ D + Im\ D = \R_{n - 1}[x] \neq \R_n[x]$

10. Дайте определение матрицы линейного отображения.

Пусть

• $e_1, ..., e_n$ - базис в $V_1$ ($\dim{V_1} = n$)

• $f_1, ..., f_m$ - базис в $V_2$ ($\dim{V_2} = m$)

Рассмотрим образы $\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n) \in V_2$ и разложим их по базису $f_1, ..., f_m$ в $V_2$.

Определение. $\underline{Матрица\ линейного\ отображения}$ в паре базисов $(e_{1},\ \ldots,\ e_{n})$ и $(f_{1},\ \ldots,\ f_{m})\ -$ это матрица

По столбцам стоят координаты образов векторов базиса $V_1$ в базисе $V_2$.

11. Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базисов. Как выглядит формула в случае линейного оператора?

Утверждение. Пусть $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ - линейное отображение. Пусть $A_{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}\ -$ матрица линейного отображения в паре базисов $\epsilon_{1}$ в пространстве $V_{1}$ и $\epsilon_{2}$ в пространстве $V_{2}.$ Тогда, если $T_{1}\ -$ матрица перехода от $\epsilon_{1}$ к $\epsilon_{1}'$ в $V_{1}, T_{2}\ -$ матрица перехода от $\epsilon_{2}$ к $\epsilon_{2}'$ в $V_{2},$ то:

Для линейного оператора:

12. Сформулируйте утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.

Утверждение. Пусть $\varphi : V_{1} \rightarrow V_{2}\ -$ линейное отображение. Тогда $\dim{Ker\ \varphi} + \dim{Im\ \varphi} = \dim{V_{1}}$.

13. Дайте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

Определение. Число $\lambda$ называется $\underline{собственным\ [числом/значением]}$ линейного оператора $\varphi : V \rightarrow V,$ где $V\ -$ линейное пространство, если существует вектор $x \in V, x \neq 0,$ такой, что $\varphi(x) = \lambda x.$ При этом $x$ называется $\underline{собственным\ вектором}.$

14. Дайте определения характеристического уравнения и характеристического многчлена квадратной матрицы.

Определение. Для произвольной квадратной матрицы $A$ определитель $\chi_{A}(\lambda) = \det{(A - \lambda E)}$ называется $\underline{характеристическим\ многочленом}$ матрицы $A$, а уравнение $\chi_{A}(\lambda) = \det{(A - \lambda E)} = 0\ -\ \underline{характеристическим\ уравнением}.$

15. Сформулируйте утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора.

Теорема. $\lambda$ - с.з. линейного оператора $A \Leftrightarrow \lambda$ - корень характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем или, если корень принадлежит рассматриваемому полю $F$).

16. Дайте определение собственного подпространства.

Определение. Пусть $A: V \rightarrow V$ - л.о. и $\lambda$ - его с.з. Тогда множество $V_{\lambda} = \{x \in V | Ax = \lambda x\}\ -$ подпространство в $V$ (называется собственным подпространством, отвечающим $\lambda$)

17. Дайте определения алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Какое неравенство их связывает?

Определение. $\underline{Алгебраической\ кратностью}$ называется кратность $\lambda$ как корня характеристического уравнения.

Определение. Размерность подпространства $V_\lambda$ называется $\underline{геометрической\ кратностью}$ с.з. $\lambda$. Геометрическая кратность равна $\dim{V_\lambda} = \dim{Ker(A - \lambda I)}$.

Теорема. Геометрическая кратность собственного значения $\lambda_i$ всегда $\leq$ его аглебраической кратности.

18. Каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям?

Свойство. Пусть $\lambda_1, ..., \lambda_k$ - с.з. линейного оператора $A, \lambda_i \neq \lambda_j, i \neq j$, а $v_1, ..., v_k$ - соответствующие с.в. Тогда $v_1, ..., v_k$ - линейно независимые. То есть с.в., отвечающие различным с.з. линейно независимы.

19. Сформулируйте критерий диагональности матрицы оператора.

Критерий. Матрица линейного оператора $\cal{A}$ является диагональной в данном базисе $\Leftrightarrow$ все векторы этого базиса являются собственными векторами для л.о. $\cal{A}$.

20. Сформулируйте критерий диагонализируемости матрицы оператора с использованием понятия геометрической кратности.

Критерий. Матрица линейного оператора диагонализируема $\Leftrightarrow$ для любого его с.з. $\lambda_j: a_{\lambda_j} = g_{\lambda_j}$ (то есть алгебраическая кратность $\lambda_j$ равна геометрической).

21. Дайте определение евклидова пространства.

Определение. $\underline{Евклидово\ пространство}\ \cal{E}\ -$ это пара, состоящая из пространства $V$ над $\R$ и функции $g(x, y): V \times V \rightarrow \R$ (скалярное произведение).

1. $\forall{x, y \in V}: g(x, y) = g(y, x)$ - симметричность

2. Линейность по каждому из аргументов: $g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z)$

3. $\forall{\alpha \in \R}: g(\alpha x, y) = \alpha g(x, y)$

4. Положительная определенность:

   $\forall{x \in V, x \neq 0}: g(x, x) > 0$

   $g(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (невырожденность)

22. Выпишите неравенства Коши-Буняковского и треугольника.

Теорема. $\forall{x, y} \in \cal{E} \quad$ $|g(x, y) | \leqslant \|x\| \cdot \|y\|.$

Следствие (неравенство треугольника). $\forall{x, y} \in \cal{E} \quad$ $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.$

23. Дайте определения ортогонального и ортонормированного базисов.

Определение. Система векторов $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}$ называется:

1. $\underline{ортогональной}$, если $g(a_{i}, a_{j}) = 0$ при $i \neq j,\quad \forall{i, j} = \overline{1, k}.$

2. $\underline{ортонормированной}$, если она ортогональна и $g(a_{i}, a_{i}) = 1 \quad \forall{i} = \overline{1, k}.$

24. Дайте определение матрицы Грама.

Определение. $\text{\underline{Матрциа Грама:}}\ A_{ij} = g(e_i,e_j)$, т.е. матрица, составленная из скалярных произведений базисных векторов. В ортонормированном базисе матрица равна $E$.

25. Выпишите формулу для вычисления скалярного произведения в координатах, заданных в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе.

Теорема. Пусть $\vec{a} = a_1 \vec{e_1} + ... + a_n \vec{e_n}, \vec{b} = b_1 \vec{e_1} + ... + b_n \vec{e_n}$ - разложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по базису. Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

26. Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису.

Матрицы Грама двух базисов $e$ и $e'$ связаны между собой так: $Г' = U^T Г U$, где $U$ - матрицы перехода от $e$ к $e'$.

27. Как меняется определитель матрицы Грама (грамиан) при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта?

Утверждение. Определитель матрицы Грама (грамиан) не изменяется при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

28. Сформулируйте критерий линейной зависимости с помощью матрицы Грама.

Утверждение. Векторы $a_1, ..., a_k \in E$ - л.н.з. $\Leftrightarrow Gr(a_1, ..., a_k) \neq 0$.

29. Дайте определение ортогонального дополнения.

Определение. Пусть $H\ -$ подпространство в евклидовом пространстве $\cal{E}$. Множество $H^{\perp} = \{x \in \cal{E}\ |\ (x, y) = 0 \quad \forall{y} \in$ $H\}$ называется $\underline{ортогональное\ дополнение}$ к $H$.

30. Дайте определения ортогональной проекции вектора на подпространство и ортогональной составляющей.

Определение. Пусть $x = h + h^{\perp}$, где $x \in V$ и $h^{\perp} \in H^{\perp}$, тогда $h\ -\ \underline{ортогональная\ проекция}\ x$ на $H$, а $h^{\perp}\ -\ \underline{ортогональная\ составляющая}\ x$ относительно $H$.

31. Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов.

Утверждение. Пусть $H = \cal{L}(a_{1},\ \ldots,\ a_{k})$ и $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}\ -$ л.н.з. Тогда $\forall{x} \in \cal{E}$ ${Пр_{H}x = \underset{n \times k}A \cdot \underset{k \times k}{(A^{T} \cdot A)^{-1}} \cdot \underset{k \times n}{A^{T}} \cdot \underset{n \times 1}x}$, где $A = [a_{1},\ \ldots,\ a_{k}]\ -$ матрица $n \times k$, составленная из столбцов $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}$ в ОНБ.

32. Выпишите формулу для вычисления расстояния с помощью определителей матриц Грама.

Утверждение. Расстояние $\rho(P, M)$ между линейным многообразием $P$ и точкой $M$ (с радиус-вектором $x$), где $P = x_0 + L(\underbrace{a_1, ..., a_k}_{\text{л.н.з.}})$ ($a_1, ..., a_k$ - ФСР ОСЛАУ) может быть найдено по формуле:

33. Дайте определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве.

Определение. Линейный оператор $A^*: E \rightarrow E$ называется сопряженным в л.о. $A: E \rightarrow E$, если:

34. Дайте определение самосопряженного (симметрического) оператора.

Определение. Л.о. $A$ называется самосопряженным (симметрическим), если:

35. Как найти матрицу сопряженного оператора в произвольном базисе?

Теорема. Для любого линейного оператора в евклидовом пространстве существует единственный сопряженный оператор $A^*: E \rightarrow E$, причем его матрицей в базисе $b$ будет матрица $A^*_b = Г^{-1} A^T_b Г$, где $Г$ - матрица Грама базиса $b$.

36. Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора?

Теорема. Все корни характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.

37. Что можно сказать про собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям?

Утверждение. С.в. самосопряженного л.о., отвечающее различным с.з., ортогональны.

38. Сформулируйте определение ортогональной матрицы.

Определение. Квадратную матрицу $O$ называют ортогональной, если $O^T O = E$.

39. Сформулируйте определение ортогонального оператора.

Определение. Линейный оператор $A: E \rightarrow E$ называется ортогональным, если:

То есть $A$ сохраняет скалярное произведение.

40. Сформулируйте критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу.

Теорема. Матрица л.о. $А$ в ОНБ ортогональна $\Leftrightarrow A$ - ортогональный л.о.