## Алгебра. Определения 4 модуля. В процессе составления использовались [материалы Аруновой Анастасии](https://github.com/adarunova/Algebra-HSE-SE/tree/year-2021/2022) --- ##### 1. Дайте определения билинейной формы и матрицы билинейной формы. Пусть $V$ - линейное пространство над $\R$ **Определение.** Функцию $b: V \times V \rightarrow \R$ называют $\underline{билинейной\ формой}$ (б. ф.), если $\forall x, y, z \in V$ и $\forall \alpha, \beta \in \R$: 1) $b (\alpha \cdot x + \beta \cdot y, z) = \alpha \cdot b (x, z) + \beta \cdot b (y, z)$ 2) $b (x, \alpha \cdot y + \beta \cdot z) = \alpha \cdot b (x, y) + \beta \cdot b (x, z)$ То есть выполяется линейность по каждому из 2-х аргументов **Определение.** Матрица $B_e = (b(e_i, e_j)),\ i = \overline{1, n},\ j = \overline{1, n}$ называется $\underline{матрицей\ билинейной\ формы}$ в базисе $e_1, ..., e_n$ ##### 2. Дайте определение квадратичной формы. **Определение.** Однородный многочлен от $n$ переменных, то есть выражение вида: $Q(x) = \sum^{n}_{i = 1}{a_{ii} \cdot x_i^2} + 2 \cdot \sum_{1 \leq i < j \leq n}{a_{ij} x_i x_j}$, где $a_{ij} \in \R, x \in \R^n$ называется $\underline{квадратичной\ формой}$. ##### 3. Дайте определения положительной и отрицательной определенности квадратичной формы. Приведите примеры. **Определение.** Квадратичная форма $q(x)$ называется - $\underline{положительно\ определенной}$, если $\forall{x \neq 0}\ q(x) > 0$ - $\underline{отрицательно\ определенной}$, если $\forall{x \neq 0}\ q(x) < 0$ ##### 4. Какую квадратичную форму называют знакопеременной? Квадратичная форма $q(x)$ называется $\underline{знакопеременной}$, если: $$\exist{x, y \in V}\ q(x) < 0 < q(y)$$ **Пример.** $q(x) = x_1^2 -x^2_3$ - знакопеременная ($y = (1, 0, 0),\ x = (0, 0, 1) \Rightarrow q(x) < 0 < q(y)$) ##### 5. Дайте определения канонического и нормального вида квадратичной формы. **Определение.** Квадратичную форму $Q(x) = \alpha_1 x_1^2 + ... + \alpha_n x^2_n,\ \alpha_1 \in \R,\ i = \overline{1, n}$ (т.е. не имеющую попарных произвольных элементов) называют квадратичной формой $\underline{канонического\ вида}$. Если $\alpha_i \in \{-1, 0, 1\}$, то канонический вид называют $\underline{нормальным}$. ##### 6. Как меняется матрица квадратичной формы при замене базиса? **Утверждение.** При переходе от базиса $e$ к базису $e'$ матрица квадратичной формы меняется так: $A' = C^T \cdot A \cdot C$ ("Стас"), где\ $A'\ -$ матрица квадратичной формы в новом базисе $e'$,\ $С\ -$ матрица перехода. ##### 7. Сформулируйте критерий Сильвестра и его следствие. **Критерий Сильвестра.** Квадратичная форма $Q(x)$ от $n$ переменных $x = (x_1,\ \ldots,\ x_n)$ положительно определена $\Leftrightarrow \Delta_1 > 0,\ \ldots,\ \Delta_n > 0$. **Следствие.** $Q(x)$ отрицательно определена $\Rightarrow \Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0,\ \ldots,\ (-1)^n \Delta_n > 0$, то есть знаки главных угловых миноров чередуются, начиная с нуля. ##### 8. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Что такое индексы инерции? **Закон инерции квадратичных форм.** Для любых двух канонических видов одной квадратичных форм $q(x) = \lambda_1 \cdot x_1^2 + \lambda_2 \cdot x_2^2 + ... + \lambda_k \cdot x_k^2,\quad \lambda_i \neq 0,\quad i = \overline{1, k}$ $q(y) = \mu_1 \cdot y_1^2 + \mu_2 \cdot y_2^2 + ... + \mu_m \cdot y_m^2,\quad \mu_i \neq 0,\quad j = \overline{1, m}$ (т.е. это запись одной и той же квадратичной формы в разных базисах) 1) $k = m = Rg{A}$ - равно рангу квадратичной формы (при этом $k = m$ может быть $< dim\ U= n$) 2) Кол-во положительных $\lambda_i =$ кол-ву положительных $\mu_j$ (называется положительным индексом инерции квадратичной формы) **Обозначение.** $i_+$ 3) Кол-во отрицательных $\lambda_i =$ кол-ву отрицательных $\mu_j$ (называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы) **Обозначение.** $i_-$ ##### 9. Дайте определение линейного отображения. Приведите пример. Пусть $V_1$ и $V_2$ два линейных (конечномерных) пространства. **Определение.** Отображение $\varphi : V_1 \rightarrow V_2$ называется линейным, если 1) $\forall{x, y \in V_1}: \varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ 2) $\forall{x \in V_1}, \forall{\alpha \in F}: \varphi(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot \varphi(x)$ **Замечание.** Автоматически выполняется $\varphi(\alpha x + \beta y) = \alpha \cdot \varphi(x) + \beta \cdot \varphi(y)$ **Пример.** $D: g \rightarrow g'$ в $\R[x]$ (дифференцирование) $$ \dim{\R_n[x]} = n + 1 \\ Im\ D = \R_{n - 1}[x] \Rightarrow \dim{Im\ D} = n \\ Ker\ D = L(1) \text{ - константы} \\ \dim{Ker\ D} = 1\quad \text{(и }\ \dim{Im\ D} + \dim{Ker\ D} = n + 1 \text{)} $$ Но $Ker\ D \cap Im\ D \neq \{0\}$ и $Ker\ D + Im\ D = \R_{n - 1}[x] \neq \R_n[x]$ ##### 10. Дайте определение матрицы линейного отображения. Пусть * $e_1, ..., e_n$ - базис в $V_1$ ($\dim{V_1} = n$) * $f_1, ..., f_m$ - базис в $V_2$ ($\dim{V_2} = m$) Рассмотрим образы $\varphi(e_1), ..., \varphi(e_n) \in V_2$ и разложим их по базису $f_1, ..., f_m$ в $V_2$. $$ \begin{cases} \varphi(e_1) = a_{11} f_1 + a_{21} f_2 + ... + a_{m1} f_m \\ \vdots \\ \varphi(e_n) = a_{1n} f_1 + a_{2n} f_2 + ... + a_{mn} f_m \end{cases} $$ **Определение.** $\underline{Матрица\ линейного\ отображения}$ в паре базисов $(e_{1},\ \ldots,\ e_{n})$ и $(f_{1},\ \ldots,\ f_{m})\ -$ это матрица $$ A_{ef} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$ По столбцам стоят координаты образов векторов базиса $V_1$ в базисе $V_2$. ##### 11. Выпишите формулу для преобразования матрицы линейного отображения при замене базисов. Как выглядит формула в случае линейного оператора? **Утверждение.** Пусть $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ - линейное отображение. Пусть $A_{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}\ -$ матрица линейного отображения в паре базисов $\epsilon_{1}$ в пространстве $V_{1}$ и $\epsilon_{2}$ в пространстве $V_{2}.$ Тогда, если $T_{1}\ -$ матрица перехода от $\epsilon_{1}$ к $\epsilon_{1}'$ в $V_{1}, T_{2}\ -$ матрица перехода от $\epsilon_{2}$ к $\epsilon_{2}'$ в $V_{2},$ то: $$A_{\epsilon_{1}'\epsilon_{2}'} = T_{2}^{-1} \cdot A_{\epsilon_{1}\epsilon_{2}} \cdot T_{1}$$ Для линейного оператора: $$A' = T^{-1} \cdot A \cdot T$$ ##### 12. Сформулируйте утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. **Утверждение.** Пусть $\varphi : V_{1} \rightarrow V_{2}\ -$ линейное отображение. Тогда $\dim{Ker\ \varphi} + \dim{Im\ \varphi} = \dim{V_{1}}$. ##### 13. Дайте определения собственного вектора и собственного значения линейного оператора. **Определение.** Число $\lambda$ называется $\underline{собственным\ [числом/значением]}$ линейного оператора $\varphi : V \rightarrow V,$ где $V\ -$ линейное пространство, если существует вектор $x \in V, x \neq 0,$ такой, что $\varphi(x) = \lambda x.$ \ При этом $x$ называется $\underline{собственным\ вектором}.$ ##### 14. Дайте определения характеристического уравнения и характеристического многчлена квадратной матрицы. **Определение.** Для произвольной квадратной матрицы $A$ определитель $\chi_{A}(\lambda) = \det{(A - \lambda E)}$ называется $\underline{характеристическим\ многочленом}$ матрицы $A$, а уравнение $\chi_{A}(\lambda) = \det{(A - \lambda E)} = 0\ -\ \underline{характеристическим\ уравнением}.$ ##### 15. Сформулируйте утверждение о связи характеристического уравнения и спектра линейного оператора. **Теорема.** $\lambda$ - с.з. линейного оператора $A \Leftrightarrow \lambda$ - корень характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем или, если корень принадлежит рассматриваемому полю $F$). ##### 16. Дайте определение собственного подпространства. **Определение.** Пусть $A: V \rightarrow V$ - л.о. и $\lambda$ - его с.з. Тогда множество $V_{\lambda} = \{x \in V | Ax = \lambda x\}\ -$ подпространство в $V$ (называется собственным подпространством, отвечающим $\lambda$) ##### 17. Дайте определения алгебраической и геометрической кратности собственного значения. Какое неравенство их связывает? **Определение.** $\underline{Алгебраической\ кратностью}$ называется кратность $\lambda$ как корня характеристического уравнения. **Определение.** Размерность подпространства $V_\lambda$ называется $\underline{геометрической\ кратностью}$ с.з. $\lambda$.\ Геометрическая кратность равна $\dim{V_\lambda} = \dim{Ker(A - \lambda I)}$. **Теорема.** Геометрическая кратность собственного значения $\lambda_i$ всегда $\leq$ его аглебраической кратности. ##### 18. Каким свойством обладают собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям? **Свойство.** Пусть $\lambda_1, ..., \lambda_k$ - с.з. линейного оператора $A, \lambda_i \neq \lambda_j, i \neq j$, а $v_1, ..., v_k$ - соответствующие с.в. Тогда $v_1, ..., v_k$ - линейно независимые. То есть с.в., отвечающие различным с.з. линейно независимы. ##### 19. Сформулируйте критерий диагональности матрицы оператора. **Критерий.** Матрица линейного оператора $\cal{A}$ является диагональной в данном базисе $\Leftrightarrow$ все векторы этого базиса являются собственными векторами для л.о. $\cal{A}$. ##### 20. Сформулируйте критерий диагонализируемости матрицы оператора с использованием понятия геометрической кратности. **Критерий.** Матрица линейного оператора диагонализируема $\Leftrightarrow$ для любого его с.з. $\lambda_j: a_{\lambda_j} = g_{\lambda_j}$ (то есть алгебраическая кратность $\lambda_j$ равна геометрической). ##### 21. Дайте определение евклидова пространства. **Определение.** $\underline{Евклидово\ пространство}\ \cal{E}\ -$ это пара, состоящая из пространства $V$ над $\R$ и функции $g(x, y): V \times V \rightarrow \R$ (скалярное произведение). 1) $\forall{x, y \in V}: g(x, y) = g(y, x)$ - симметричность 2) Линейность по каждому из аргументов: $g(x + y, z) = g(x, z) + g(y, z)$ 3) $\forall{\alpha \in \R}: g(\alpha x, y) = \alpha g(x, y)$ 4) Положительная определенность: $\forall{x \in V, x \neq 0}: g(x, x) > 0$ $g(x, x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (невырожденность) ##### 22. Выпишите неравенства Коши-Буняковского и треугольника. **Теорема.** $\forall{x, y} \in \cal{E} \quad$ $|g(x, y) | \leqslant \|x\| \cdot \|y\|.$ **Следствие** (неравенство треугольника). $\forall{x, y} \in \cal{E} \quad$ $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.$ ##### 23. Дайте определения ортогонального и ортонормированного базисов. **Определение.** Система векторов $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}$ называется: 1. $\underline{ортогональной}$, если $g(a_{i}, a_{j}) = 0$ при $i \neq j,\quad \forall{i, j} = \overline{1, k}.$ 2. $\underline{ортонормированной}$, если она ортогональна и $g(a_{i}, a_{i}) = 1 \quad \forall{i} = \overline{1, k}.$ ##### 24. Дайте определение матрицы Грама. **Определение.** $\text{\underline{Матрциа Грама:}}\ A_{ij} = g(e_i,e_j)$, т.е. матрица, составленная из скалярных произведений базисных векторов. В ортонормированном базисе матрица равна $E$. ##### 25. Выпишите формулу для вычисления скалярного произведения в координатах, заданных в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе. **Теорема.** Пусть $\vec{a} = a_1 \vec{e_1} + ... + a_n \vec{e_n}, \vec{b} = b_1 \vec{e_1} + ... + b_n \vec{e_n}$ - разложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по базису. Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле: $$ (\vec{a}, \vec{b}) = \begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_b\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}(\vec{e_1}, \vec{e_1}) & \cdots & (\vec{e_1}, \vec{e_n}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\vec{e_n}, \vec{e_1}) & \cdots & (\vec{e_n}, \vec{e_n})\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = a^T Г b $$ ##### 26. Выпишите формулу для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису. Матрицы Грама двух базисов $e$ и $e'$ связаны между собой так: $Г' = U^T Г U$, где $U$ - матрицы перехода от $e$ к $e'$. ##### 27. Как меняется определитель матрицы Грама (грамиан) при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта? **Утверждение.** Определитель матрицы Грама (грамиан) не изменяется при применении процесса ортогонализации Грама-Шмидта. ##### 28. Сформулируйте критерий линейной зависимости с помощью матрицы Грама. **Утверждение.** Векторы $a_1, ..., a_k \in E$ - л.н.з. $\Leftrightarrow Gr(a_1, ..., a_k) \neq 0$. ##### 29. Дайте определение ортогонального дополнения. **Определение.** Пусть $H\ -$ подпространство в евклидовом пространстве $\cal{E}$.\ Множество $H^{\perp} = \{x \in \cal{E}\ |\ (x, y) = 0 \quad \forall{y} \in$ $H\}$ называется $\underline{ортогональное\ дополнение}$ к $H$. ##### 30. Дайте определения ортогональной проекции вектора на подпространство и ортогональной составляющей. **Определение.** Пусть $x = h + h^{\perp}$, где $x \in V$ и $h^{\perp} \in H^{\perp}$, тогда $h\ -\ \underline{ортогональная\ проекция}\ x$ на $H$, а $h^{\perp}\ -\ \underline{ортогональная\ составляющая}\ x$ относительно $H$. ##### 31. Выпишите формулу для ортогональной проекции вектора на подпространство, заданное как линейная оболочка данного линейно независимого набора векторов. **Утверждение.** Пусть $H = \cal{L}(a_{1},\ \ldots,\ a_{k})$ и $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}\ -$ л.н.з. Тогда $\forall{x} \in \cal{E}$ ${Пр_{H}x = \underset{n \times k}A \cdot \underset{k \times k}{(A^{T} \cdot A)^{-1}} \cdot \underset{k \times n}{A^{T}} \cdot \underset{n \times 1}x}$, где $A = [a_{1},\ \ldots,\ a_{k}]\ -$ матрица $n \times k$, составленная из столбцов $a_{1},\ \ldots,\ a_{k}$ в ОНБ. ##### 32. Выпишите формулу для вычисления расстояния с помощью определителей матриц Грама. **Утверждение.** Расстояние $\rho(P, M)$ между линейным многообразием $P$ и точкой $M$ (с радиус-вектором $x$), где $P = x_0 + L(\underbrace{a_1, ..., a_k}_{\text{л.н.з.}})$ ($a_1, ..., a_k$ - ФСР ОСЛАУ) может быть найдено по формуле: $$ \rho(P, M) = \sqrt{\frac{Gr(a_1, ..., a_k, x - x_0)}{Gr(a_1, ..., a_k)}} $$ ##### 33. Дайте определение сопряженного оператора в евклидовом пространстве. **Определение.** Линейный оператор $A^*: E \rightarrow E$ называется сопряженным в л.о. $A: E \rightarrow E$, если: $$ \forall{x, y \in E}: (\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^* y) $$ ##### 34. Дайте определение самосопряженного (симметрического) оператора. **Определение.** Л.о. $A$ называется самосопряженным (симметрическим), если: $$ \forall{x, y \in E}: (\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}y) $$ ##### 35. Как найти матрицу сопряженного оператора в произвольном базисе? **Теорема.** Для любого линейного оператора в евклидовом пространстве существует единственный сопряженный оператор $A^*: E \rightarrow E$, причем его матрицей в базисе $b$ будет матрица $A^*_b = Г^{-1} A^T_b Г$, где $Г$ - матрица Грама базиса $b$. ##### 36. Каким свойством обладают собственные значения самосопряженного оператора? **Теорема.** Все корни характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора являются действительными числами. ##### 37. Что можно сказать про собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие разным собственным значениям? **Утверждение.** С.в. самосопряженного л.о., отвечающее различным с.з., ортогональны. ##### 38. Сформулируйте определение ортогональной матрицы. **Определение.** Квадратную матрицу $O$ называют ортогональной, если $O^T O = E$. ##### 39. Сформулируйте определение ортогонального оператора. **Определение.** Линейный оператор $A: E \rightarrow E$ называется ортогональным, если: $$ \forall{x, y \in E}: (Ax, Ay) = (x, y) $$ То есть $A$ сохраняет скалярное произведение. ##### 40. Сформулируйте критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. **Теорема.** Матрица л.о. $А$ в ОНБ ортогональна $\Leftrightarrow A$ - ортогональный л.о.