Алгебра. Определения 1 часть.

В процессе составления использовались материалы Аруновой Анастасии

1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция?

Определение. $\underline{Произведением\ матриц }\ A_{m \times k}$ и $B_{k \times n}$ называется матрица $C_{m \times n},$ где $c_{ij} = \overset{k}{\underset{q = 1}{\sum}}{a_{iq} \cdot b_{qj}} \quad \forall\ i = \overline{1, m}, \quad \forall\ j = \overline{1, n}$

Замечание. Операция умножения матриц некоммутативна.

Пример. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

$A \cdot B = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} = B \cdot A$

2. Дать определения ступенчатого вида матрицы и канонического (улучшенного ступенчатого) вида матрицы.

Определение. Матрица $M$ имеет $\underline{ступенчатый\ вид}$, если номера столбцов первых ненулевых элементов всех строк (ведущие элементы) возрастают, а нулевые строки расположены в нижней части матрицы.

Определение. Матрица $M$ имеет $\underline{улучшенный\ ступенчатый\ (канонический)\ вид}$, если:

1. она имеет ступенчатый вид

2. все ведущие элементы равны 1

3. в столбце с ведущим элементом все остальные элементы равны 0

3. Перечислить элементарные преобразования строк матрицы.

Определение. $\underline{Элементарными\ преобразованиями\ строк}$ матрицы называют:

1. умножение $i$-ой строки матрицы на $\alpha \neq 0$: $\alpha \cdot (i) \rightarrow (i)$

2. перестановка двух строк в матрице: $(i) \leftrightarrow (k)$

3. добавление к $i$-ой строке $k$-ой строки с коэффициентом $\alpha$: $(i) + \alpha \cdot (k) \rightarrow (i)$

4. Сформулировать теорему о методе Гаусса.

Теорема. Любую конечную матрицу можно элементарными преобразованиями привести к ступенчатому (каноническому) виду.

5. Дать определения перестановки и подстановки.

Определение. $\underline{Перестановка}\ -$ всякое расположение чисел $1,\ 2,\ \ldots,\ n$ в определённом порядке.

Определение. $\underline{Подстановка}\ \sigma = \begin{pmatrix} 1\ \ldots\ n\\ \sigma(1)\ \ldots\ \sigma(n) \end{pmatrix}\ -$ взаимно однозначное отображение множества $1,\ 2,\ \dots,\ n$ в себя. Нижняя строка $(\sigma(1)\ \ldots\ \sigma(n))\ -$ некоторая перестановка

6. Дать определения знака и чётности подстановки.

Определение. $\underline{Знак\ подстановки}\ -$ знак перестановки в её нижней строке.

$\underline{Знак\ перестановки}\ - (-1)^{k},$ где $k\ -$ число инверсий в перестановке.

Определение. $\underline{Чётность\ подстановки}\ -$ чётность количества всех инверсий в этой подстановке.

7. Выписать общую формулу для вычисления определителя произвольного порядка с помощью подстановок.

$\det A = \underset{\sigma \in S_{n}}\sum{sgn(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdot\ \ldots\ \cdot a_{n\sigma(n)}},$

где $A = \begin{pmatrix} a_{11}\ \ldots\ a_{1n}\\ \vdots\ \ddots\ \vdots \\ a_{n1}\ \ldots\ a_{nn} \end{pmatrix}$.

8. Что такое алгебраическое дополнение?

Определение. $\underline{Алгебраическое\ дополнение}$ элемента $a_{ij}\ -$ это число $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij},$ где $M_{ij}\ -$ дополняющий минор элемента $a_{ij}.$

9. Выписать формулы для разложения определителя по строке и по столбцу.

По строке: $\det A = \overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}{a_{ij} \cdot A_{ij} \quad \forall\ i = \overline{1,\ n}}$

По столбцу: $\det A = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}{a_{ij} \cdot A_{ij} \quad \forall\ j = \overline{1,\ n}}$

Здесь: $A\ -$ квадратная матрица, $i -$ номер строки, $j -$ номер столбца.

10. Что такое фальшивое разложение?

Определение. $\underline{Фальшивое\ разложение}.$ Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы $A$ на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

$\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}{a_{ij} \cdot A_{kj}} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}{a_{ij} \cdot A_{ik}} = 0,$ где $k \neq i$ и $k \neq j$ соответственно.

11. Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Когда с их помощью можно найти решение СЛАУ?

Пусть $\ Ax$ = $\ b$ совместная СЛАУ, тогда:

$x_{i} \cdot {\det A} = {\Delta_{i}}$

${\Delta_{i}} = \det(A_1,...,A_{i-1}, b, A_{i+1},...,A_{n})$

Можно найти решение, если $\det A \neq 0:$

$x_{i} = \frac{\Delta_{i}}{\det A}, \quad i = \overline{1,\ n}.$

12. Дать определение союзной матрицы.

Определение. $\underline{Союзная\ матрица}\ -$ это транспонированная матрица из алгебраических дополнений.

$\tilde A = \begin{pmatrix} A_{11}\ \ldots\ A_{1n}\\ \vdots\ \ddots\ \vdots \\ A_{n1}\ \ldots\ A_{nn} \end{pmatrix}^T$.

13. Дать определение обратной матрицы. Сформулировать критерий её существования.

Определение. $\underline{Обратная\ матрица}\ -$ квадратная матрица $B$ того же порядка, что и матрица $A,$ такая что $A \cdot B = B \cdot A = E,$ где $E\ -$ единичная матрица.

Критерий. Матрица $A \in M_{n}(\R)$ имеет обратную $\Leftrightarrow \det A \neq 0\ (A\ -$ невырожденная$).$

14. Выписать формулу для нахождения обратной матрицы.

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A},$ где $\tilde{A}\ -$ союзная матрица.

15. Выписать формулу для матрицы обратной к произведению двух матриц?

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} = \frac{1}{\det B} \cdot \tilde{B} \cdot \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A},$ где $\tilde{A}$ и $\tilde{B}\ -$ союзные матрицы.

16. Дать определение минора.

Определение. $\underline{Минор}\ k$-го порядка $-$ определитель матрицы $A,$ составленной из элементов, стоящих на пересечении произвольных фиксированных $k$ строк и $k$ столбцов.

17. Дать определение базисного минора. Какие строки называются базисными?

Определение. $\underline{Базисный\ минор}\ -$ это любой отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. $\underline{Базисные\ строки}\ -$ это строки, попавшие в некоторый базисный минор.

18. Дать определение ранга матрицы.

Определение. $\underline{Ранг\ матрицы}\ -$ это максимальный порядок (наибольший размер) отличного от нуля минора матрицы.

19. Дать определение линейной комбинации строк. Что такое нетривиальная линейная комбинация?

Определение. $\underline{Линейная\ комбинация\ строк}\ -$ это выражение:

$\overset{n}{{\underset{i = 1}{\sum}}}{\alpha_{i} a_{i}}, \quad$ где $\alpha_{i} \in \R\ -$ коэффициенты, $a_{i}$ $-$ строки матрицы.

Определение. Линейная комбинация называется $\underline{нетривиальной},$ если не все коэффициенты равны нулю.

20. Дать определение линейной зависимости строк матрицы.

Определение. Строки $a_{1}, \ \ldots,\ a_{n}$ называются $\underline{линейно\ зависимыми},$ если есть числа $\alpha_{1}, \ \ldots,\ \alpha_{n},$ не все равные нулю, что $\alpha_{1}a_{1} +\ \ldots\ + \alpha_{n}a_{n} = \overline{0},$ где $\overline{0}\ -$ нулевая строка.

21. Дать определение линейно независимых столбцов матрицы.

Определение. Строки $a_{1}, \ \ldots,\ a_{n}$ называются $\underline{линейно\ независимыми},$ если $\alpha_{1}a_{1} +\ \ldots\ + \alpha_{n}a_{n} = \overline{0}$ возможно только при $\alpha_{1} = \ldots = \alpha_{n} = 0.$

22. Сформулировать критерий линейной зависимости.

Критерий. Для того, чтобы строки (столбцы) $a_{1}, \ \ldots,\ a_{n}$ были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из них являлась линейной комбинацией остальных.

23. Сформулировать теорему о базисном миноре.

Теорема.

1. Базисные строки (столбцы), соответствующие любому базисному минору матрицы $A,$ являются линейно независимыми.

2. Строки (столбцы) матрицы $A,$ не входящие в базисный минор $M,$ являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

24. Сформулировать теорему о ранге матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

25. Сформулировать критерий невырожденности квадратной матрицы.

Критерий. Пусть $A \in M_{n}(\R)\ -$ квадратная матрица порядка $n.$ Тогда следующие 3 условия эквивалентны:

1. $\det A \neq 0.$

2. $Rg A = n.$

3. Все строки (столбцы) $A$ линейно независимы.

26. Сформулировать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема. СЛАУ $Ax = b\ -\$ совместная $\Leftrightarrow Rg A = Rg(A\ |\ b).$