### Алгебра. Определения 3 часть.

В процессе составления использовались [материалы Аруновой Анастасии](https://github.com/adarunova/Algebra-HSE-SE/tree/year-2021/2022)

---

##### 1. Какие бинарные операции называются ассоциативными, а какие коммутативными?

**Определение.** Бинарная операция называется $\underline{ассоциативной}$, если $\newline \forall\ a, b, c \in X \quad (a * b) * c = a * (b * c)$.

**Определение.** Бинарная операция называется $\underline{коммутативной}$, если $\newline \forall\ a, b \in X \quad a * b = b * a$.

##### 2. Дайте определения полугруппы и моноида.

**Определение.** Множество $G$ с корректно заданной бинарной операцией $*$, если выполнены условия:

(1) $\forall\ x, y, z \in G: (x * y) * z = x * (y * z)$

(2) $\exists\ e \in G: e * x = x * e = x\quad \forall\ x \in G\ $

(1) - полугруппа\
(1) и (2) - моноид

##### 3. Сформулируйте определение группы. Приведите пример.

**Определение.**  Множество $G$ с корректно заданной бинарной операцией $*$, называется $\underline{группой}$ если выполнены условия:

(1) $\forall\ x, y, z \in G\quad (x * y) * z = x * (y * z)$

(2) $\exists\ e \in G: e * x = x * e = x\quad \forall\ x \in G\ $

(3) $\forall\ x \in G\quad \exists\ x^{-1}:\quad x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$

*Пример.* Множество всех невырожденных матриц размера $n \times n$ с операцией матричного умножения.

##### 4. Что такое симметрическая группа? Укажите число элементов в ней.

**Определение.**  Множество всех подстановок длины $n$ с операцией композиции образуют $\underline{симметрическую\ группу}$ $S_{n}$.

Число элементов $|S_{n}| = n!$

##### 5. Что такое общая линейная и специальная линейная группы?

**Определение.**  $\underline{Общая\ линейная\ группа}$ $GL_{n}(\R)$ - группа невырожденных матриц размера $n \times n$.

**Определение.**  $\underline{Специальная\ линейная\ группа}$ $SL_{n}(\R)$ - группа невырожденных матриц размера $n \times n$, определитель которых равен $1$.

##### 6. Сформулируйте определение абелевой группы. Приведите пример.

**Определение.**  $\underline{Абелева\ группа}$ - группа с коммутативной бинарной операцией.

*Пример.* $(\Z,\ +)$ - множество целых чисел с операцией сложения.

##### 7. Дайте определение подгруппы. Приведите пример группы и её подгруппы.

**Определение.**  $\underline{Подгруппа}$ в группе $G\ -$ подмножество $H \subseteq G$, если выполнено:

1\) $e \in H$

2\) $\forall\ h_{1},\ h_{2} \in H \quad h_{1} * h_{2} \in H\ -$ замкнутость по бинарной операции

3\) $\forall\ h \in H \quad h^{-1} \in H\ -$ замкнутость относительно взятия обратного элемента

Т.е. $H$ само является группой относительно операции в $(G,\ *)$.

*Пример.* $\{e\} = H\ -$ всегда подгруппа.

##### 8. Дайте определение гомоморфизма групп. Приведите пример.

**Определение.** Отображение $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ называется $\underline{гомоморфизмом}$, если

$\forall\ a,\ b \in G_{1} \quad f(a * b) = f(a)\circ f(b)$

*Пример.* 

$\det: GL_{n}(\R) \rightarrow \R^{*}$

$A \mapsto \det \in \R^{*} \quad \forall\ A \in GL_{n}(\R)$

##### 9. Дайте определение изоморфизма групп. Приведите пример.

**Определение.** Биективный гомоморфизм называется $\underline{изоморфизмом}$.

*Пример.* $(\R,+)\ \cong (\R^{+},*)$

##### 10. Сформулируйте два свойства гомоморфизма. Приведите пример гомоморфизма.

Пусть $f$ - гомоморфизм, $f : (G_{1},\ *,\ e_{1}) \rightarrow (G_{2},\ \circ,\ e_{2})$

т.е. $\forall\ a,\ b \in G_{1} \quad f(a * b) = f(a) \circ f(b)$.

1. $f(e_{1}) = e_{2}$, т.е. нейтральный элемент всегда переходит в нейтральный.

2. $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1} \quad \forall\ g \in G_{1}$, т.е. обратный элемент переходит в обратный.

*Пример.*

$G_{1} = (\R,\ *),\ G_{2} = (\R,\ +)$

$f : G_{1} \rightarrow G_{2}, f(x) = \ln(x)$

$\ln(a*b) = \ln(a) + \ln(b)$

##### 11. Дайте определение порядка элемента.

**Определение.**  Пусть $q$ - наименьшее натуральное число, такое что $a^{q} = e$ - нейтральный элемент.\
Тогда $a$ - элемент конечного порядка, $q$ - $\underline{порядок\ элемента}$ $a$.

Если такого $q$ не существует, то $a$ - элемент бесконечного порядка.

*Обозначение:* $\ q = ord(a)$.

##### 12. Дайте определение таблицы Кэли.

**Определение.**  $\underline{Таблица\ Кэли}$ - таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией.

##### 13. Сформулируйте определение циклической группы. Приведите пример.

**Определение.** $\underline{Циклической\ группой}$ называется группа, любой элемент которой представим в виде $g = a^{n}$, где $n \in \Z$, $\ a \in G$.

При этом $a$ называется порождающим элементом группы $G$.

*Обозначение:* $\ G = \langle a \rangle= \{a^{n}\ |\ n \in\ Z\}$.

*Пример:* $(\Z_{n},\ +_{mod\ n})$.

##### 14. Сколько существует, с точностью до изоморфизма, циклических групп данного порядка?

Все циклические группы одинакового порядка изоморфны.

##### 15. Что такое ядро гомоморфизма групп? Приведите пример.

**Определение.** $\underline{Ядро\ гомоморфизма}\ f : G_{1} \rightarrow G_{2}$ называется множество $Ker\ f = \{a \in G_{1}\ |\ f(a) = e_{2}\} \subseteq G_{1}$ - все элементы $G_{1}$, которые переходят в нейтральный.

*Пример:* $f = \det: GL_{n}(\R) \rightarrow \R^{*} = \{\R\ \backslash\ \{0\},\ *\}$.

##### 16. Сформулируйте утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению.

**Утверждение.** $\forall$ подгруппа в $(\Z,\ +)$ имеет вид $k * \Z = \{k*m\ |\ m \in \Z\}$ для некоторого $k \in \N \cup \{0\}$.

##### 17. Дайте определение левого смежного класса по некоторой подгруппе.

**Определение.** $\underline{Левым\ смежным\ классом}$ элемента $g \in G$ по подгруппе $H$ называется множество $gH = \{g*h\ |\ h \in H\}$.

##### 18. Дайте определение нормальной подгруппы.

**Определение.** $\underline{Подгруппа}\ H$ группы $G$ называется $\underline{нормальной}$, если $\forall\ g \in G\ gH = Hg$ (т.е. левые и правые смежные классы по ней совпадают).

##### 19. Что такое индекс подгруппы?

**Определение.** $\underline{Индексом\ подгруппы}\ H$ в группе $G$ называется число левых смежных классов $G$ по $H$.

*Обозначение:* $[G : H]$

##### 20. Сформулируйте теорему Лагранжа.

**Теорема.** Пусть $G$ - конечная группа и $H \subseteq G$ - подгруппа в $G$. Тогда $|G| = |H| \cdot [G : H]$.

##### 21. Сформулируйте три следствия из теоремы Лагранжа.

**Следствия.**

1. Пусть $G$ - конечная группа и $g \in G$. Тогда $ord(g)$ делит порядок группы.

2. Пусть $G$ - конечная группа и $g \in G$. Тогда $g^{|G|} = e$ - нейтральный элемент в $G$.

3. Рассмотрим $Z^{*}_{p} = (Z_{p} \backslash \{\overline{0}\},\ *)$, где p - простое число.$\newline$
Пусть $\overline{a}$ - ненулевой вычет по простому модулю $p$.$\newline$
Тогда $\overline{a}^{p-1} = 1 \Leftrightarrow a^{p-1} \equiv 1\ mod\ p$.

##### 22. Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий сопряжение.

**Критерий.** Пусть $H \subseteq G$ - подгруппа в группе $G$. Тогда 3 условия эквиваленты:

1. $H$ \- нормальная $(H \lhd G)$;
2. $\forall{g \in G}: gHg^{-1} \subseteq H$
3. $\forall\ g \in G: gHg^{-1} = H$.

##### 23. Дайте определение факторгруппы.

**Определение.** Пусть $H$ - нормальная подгруппа в $G$.
Множество  левых (или правых) смежных классов с операцией умножения смежных классов: $(g_{1}H) * (g_{2}H) = (g_{1} * g_{2})H$, называется $\underline{факторгруппой}$ группы $G$ по подгруппе $H$.

*Обозначение:* $G / H$ - факторгруппа $G$ по нормальной подгруппе $H$.

##### 24. Что такое естественный гомоморфизм?

**Определение.** Отображение, сопоставляющее элементу группы $G$ его смежный класс по некоторой нормальной подгруппе $H$ по правилу $\varepsilon : g \mapsto gH$, называется $\underline{естественным\ гомоморфизмом}$.

##### 25. Сформулируйте критерий нормальности подгруппы, использующий понятие ядра гомоморфизма.

**Критерий.** $H$ - нормальная подгруппа в $G \Leftrightarrow H = Ker\ f$, где $f$ - некоторый гомоморфизм из $G$ куда-то.\
(Т.е. H - ядро некоторого гомоморфизма из G).

##### 26. Сформулируйте теорему о гомоморфизме групп. Приведите пример.

**Теорема.** Пусть $f : G_{1} \rightarrow G_{2}$ - гомоморфизм групп. Тогда группа $Im\ f = \{g_{2} \in G_{2}\ |\ \exists\ g_{1} \in G_{1} : f(g_{1}) = g_{2}\}$ изоморфна факторгруппе $G_{1} / Ker\ f$. То есть $G_{1} / Ker\ f\ \cong Im\ f \subseteq G_{2}$.

*Пример:* $\Z / 3\Z \cong \Z_{3}.$

##### 27. Что такое прямое произведение групп?

**Определение.** $\underline{Прямое\ произведение\ групп}\ G_{1}$ и $G_{2}$ называется их прямое (декартово) произведение как множество (т.е. $G_{1} \times G_{2}$), снабжённое операцией: $(x_{1},\ y_{1})\ \star\ (x_{2},\ y_{2}) = (x_{1}\ \circ\ x_{2},\ y_{1} * y_{2})$,

где $x_{1}, x_{2} \in G_{1},\quad y_{1}, y_{2} \in G_{2}, \quad \circ$ - операция в $G_{1}, \quad *$ - операция в $G_{2}$, 

##### 28. Сформулируйте определение автоморфизма и внутреннего автоморфизма.

**Определение.** $\underline{Автоморфизм}$ - это изоморфизм группы $G$ в себя.
Множество всех автоморфизмов группы $G$ в себя обозначается $Aut(G)$ и образует группу относительно операции композиции.

**Определение.** $\underline{Внутренний\ автоморфизм}$ - это отображение $I_{a} : g \mapsto aga^{-1}$ (сопряжение элементов группы по фиксированному элементу $a$).

##### 29. Что такое центр группы? Приведите пример.

**Определение.** $\underline{Центр\ группы}$ - множество всех элементов из группы $G$, которые коммутируют со всеми элементами группы $G$.

*Обозначение:* $Z(G) = \{a \in G\ |\ ab = ba \quad \forall\ b \in G \}$.

*Пример:* В группе кватернионов $Q_{8}:\ Z(Q_{8}) = \{1,\ -1 \}$.

##### 30. Что можно сказать про факторгруппу группы по её центру?

**Утверждение.** $G/Z(G)\ \cong I_{nn}(G)$.

##### 31. Сформулируйте теорему Кэли.

**Теорема.** $\forall$ конечная группа порядка $n \in \N$ изоморфна некоторой подгруппе в $S_{n}$.

##### 32. Дайте определение кольца.

**Определение.** Множество $K \neq \varnothing$ называется $\underline{кольцом}$, если на нём заданы 2 бинарные операции "$+$" и "$*$", удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. $(K,\ +)$ - абелева группа по сложению.
2. $(K,\ *)$ - полугруппа по умножению.
3. Дистрибутивность: $\forall\ a, b, c \in K\newline (a + b)c = ac + bc\newline
c(a + b) = ca + cb$

##### 33. Что такое коммутативное кольцо? Приведите примеры коммутативного и некоммутативного колец.

**Определение.** Кольцо называется $\underline{коммутативным}$, если $\forall\ x, y \in K \quad xy = yx$ (умножение коммутативно).

*Пример:* $(\Z,\ +,\ *)$ - коммутативное кольцо с единицей.

$M_{n}(\R)$ - некоммутативное матричное кольцо с единицей.

##### 34. Дайте определение делителей нуля.

**Определение.** Если $a * b = 0$, при этом $a \neq 0$ и $b \neq 0$ в кольце $K$, то $a$ называется $\underline{левым\ делителем\ нуля}$, а $b$ - $\underline{правым\ делителем\ нуля}$.

*Пример:* в $\Z_{4}:\ \overline{2}$ - делитель нуля.

##### 35. Дайте определение поля. Приведите три примера.

**Определение.** $\underline{Поле}\ P$ - это коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый элемент, кроме нуля, обратим.

*Пример:* $\mathbb{Q,\ R,\ C}$.

##### 36. Дайте определение подполя. Привести пример пары: поле и его подполе.

**Определение.** $\underline{Подполе}$ - подмножество в поле $P$, которое само является полем относительно операций сложения и умножения в $P$.

*Пример:* $\mathbb{Q} \subseteq \R \subseteq \mathbb{C}$ - подполя в $\mathbb{C}$.

##### 37. Дайте определение характеристики поля. Привести примеры: поля положительной характеристики и поля нулевой характеристики.

**Определение.** Пусть $P$ - поле. Тогда его $\underline{характеристикой}\ char\ P$ называется наименьшее натуральное число $q$, такое что $1 + ... + 1\ (q\ раз) = 0$.

Если такого $q \in \N$ не существует, то $char\ P = 0$.

*Пример:* $char\R = char \mathbb{C} = char \mathbb{Q} = 0$.

$\Z_{p}$ - кольцо вычетов по простому модулю $p$. Оно является полем, $char\Z_{p} = p$.

##### 38. Сформулируйте утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики.

**Определение.** В $\forall$ поле существует наименьшее по вложению подполе. Оно называется $\underline{простым\ подполем}$.

**Утверждение.** Пусть $P$ - поле, $P_{0}$ - его простое подполе. Тогда:

1. Если $char P = p > 0$, то $P_{0}\ \cong \Z_{p}$.
2. Если $char P = 0$, то $P_{0}\ \cong \mathbb{Q}$.

##### 39. Дайте определение идеала.

**Определение.** Подмножество $I$ кольца $K$ называется $\underline{идеалом}$, если оно:

1. Является подгруппой по сложению в $(K,\ +)$.
2. $\forall\ a \in I \quad \forall\ r \in K \quad r*a,\ a*r \in I $.

##### 40. Сформулируйте определение гомоморфизма колец.

**Определение.** $\varphi : K_{1} \rightarrow K_{2}$ - гомоморфизм колец, если $\forall{a, b \in K_1}$:

1) $\varphi(a + b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$
2) $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)$

##### 41. Сформулируйте теорему о гомоморфизме колец. Приведите пример.

**Теорема.** Пусть $\varphi : K_{1} \rightarrow K_{2}$ - гомоморфизм колец. Тогда $K_{1} / Ker\ \varphi\ \cong Im\ \varphi$.

*Пример:* $\Z / n\Z\ \cong \Z_n$.

##### 42. Сформулируйте критерий того, что кольцо вычетов по модулю $p$ является полем.

**Критерий.** $\Z_{p}\ ($кольцо  вычетов по $mod\ p)$ является полем $\Leftrightarrow\ p\ -$ простое число. 

##### 43. Сформулируйте теорему о том, когда факторкольцо кольца многочленов над полем само является полем.

**Теорема.** Пусть $F[x]\ -$ кольцо многочленов с коэффициентами из поля $F$, и $f(x) \in F[x]$, и $\langle f(x) \rangle\ -$ идеал, порождённый $f(x)$. Тогда факторкольцо $F[x]\ /\ \langle f(x) \rangle$ является полем $\Leftrightarrow$ многочлен $f(x)$ неприводим над $F$.

##### 44. Дайте определение алгебраического элемента над полем.

**Определение.** Элемент $\alpha \in P_{2}$ называется $\underline{алгебраическим\ элементом}$ над полем $P_{1}$, где $P_{2}\ -$ расширение $P_{1}$, если $\exists\ f(x) \neq 0 \quad f(x) \in P_{1}[x]$, такой что $f(\alpha) = 0$. $f(x)\ -$ многочлен с коэффициентом из $P_{1}$.

##### 45. Сформулируйте утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по некоторому идеалу.

**Утверждение.** $\forall$ конечное поле $F_{q}\ (|F_{q}| = q)$, где $q = p^{n}, p\ -$ простое, $n \in \N$, может быть реализовано в виде $\Z_{p}[x]\ /\ \langle h(x) \rangle$, где $h(x)\ - $ неприводимый многочлен $n$-й степени из $\Z_{p}[x]$.

##### 46. Сформулируйте утверждение о том, сколько элементов может быть в конечном поле.

**Утверждение.** 

1. Число элементов в конечном поле $F_{q}\ (|F_{q}| = q)$ всегда имеет вид $q = p^{n}$, где $p\ -$ простое число, $n \in \N$.
2. Для $\forall\ p\ -$ простого и $\forall\ n \in \N\ \exists!$ (с точностью до изоморфизма) поле из $p^{n}$ элементов.

##### 47. Дайте определение линейного (векторного) пространства.

**Определение.** Множество $V$ с операциями сложения и умножения на число называется $\underline{линейным\ (векторным)\ пространством\ (ЛП)}$ над полем $F$, если выполнены следующие 8 аксиом:

$\forall\ x, y, z \in V$ и $\lambda, \mu \in F$

1. $x + y = y + x$
2. $(x + y) + z = x + (y + z)$
3. $\exists\ 0 \in V : x + 0 = 0 + x = x\ $- нейтральный элемент по сложению.
4. $\forall\ x \in V\ \exists\ (-x): x + (-x) = (-x) + x = 0\ -$ противоположный элемент.
5. $\forall\ x \in V: 1 * x = x\ -$ нейтральность $1 \in F$.
6. $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu )x\ -$ ассоциативность умножения на число.
7. $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x\ -$ дистрибутивность относительно суммы чисел.
8. $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y\ -$ дистрибутивность относительно суммы векторов.

##### 48. Дайте определение базиса линейного (векторного) пространства.

**Определение.** $\underline{Базисом}$ линейного пространства $V$ называется система векторов $b_{1},\ \ldots,\ b_{k}$, такая что:

1. $b_{1},\ \ldots,\ b_{k}$ линейно независимы.
2. $\forall$ вектор $x \in V$ представим в виде линейной комбинации (л/к) векторов $b_{1},\ \ldots,\ b_{k}$ (т.е. линейно выражается через базисные векторы) $x = x_{1}b_{1} + \ldots + x_{k}b_{k}$.

##### 49. Что такое размерность пространства?

**Определение.** Максимальное число линейно независимых векторов в данном пространстве $V$ называется его $\underline{размерностью}$.

*Обозначение:* $\dim V$.

*Пример:* $\dim F^{n} = n$.

##### 50. Дайте определение матрицы перехода от старого базиса линейного пространства к новому.

**Определение.** $\underline{Матрицей\ перехода}$ от базиса $\mathbb{A}$ к базису $\mathbb{B}$ называется матрица вида:

$T_{a \rightarrow b} = \begin{pmatrix}
t_{11}\ \dots\ t_{1n}\\
\vdots\ \ddots\ \vdots\\
t_{n1}\ \dots\ t_{nn}
\end{pmatrix}$.

Уточнение: $(t_{11},\ t_{21},\ \ldots,\ t_{n1})\ -$ координаты вектора $b_{1}$ в базисе $\mathbb{A}$.
$(t_{1n},\ t_{2n},\ \ldots,\ t_{nn})\ -$ координаты вектора $b_{n}$ в базисе $\mathbb{A}$.

$\mathbb{!!!}$ Координаты новых базисных векторов в старом базисе выписываются по **столбцам**.

##### 51. Выпишите формулу для описания изменения координат вектора при изменении базиса.

**Утверждение.** Пусть $x \in V$, $\mathbb{A}$ и $\mathbb{B}\ -$ базисы в $V$. Пусть \
$x^{a} = \begin{pmatrix} x^{a}_{1}\\ \vdots\\ x^{a}_{n}\end{pmatrix} -$ столбец координат $x$ в базисе $\mathbb{A}$.

$x^{b} = \begin{pmatrix} x^{b}_{1}\\ \vdots\\ x^{b}_{n}\end{pmatrix} -$ столбец координат $x$ в базисе $\mathbb{B}$. 

Тогда $x^{b} = T^{-1}_{a \rightarrow b}\ x^{a}$.

##### 52. Дайте определение подпространства в линейном пространстве.

**Определение.** Подмножество $L$ векторного пространства $V$ называется $\underline{линейным\ подпространством}$ в $V$, если оно само является пространством относительно операции в $V$.

*Замечание.* $L\ -$ подпространство, если $\forall\ x, y \in L \quad \forall\ \lambda \in F \quad 
\begin{cases}
x + y \in L\\
\lambda x \in L
\end{cases}$.

Т.е. достаточно проверить замкнутость относительно сложения и умножения на число.

##### 53. Дайте определения линейной оболочки конечного набора векторов и ранга системы векторов.

**Определение.** Пусть в $V$ задана система векторов $a_{1},\ \dots,\ a_{k}$ (необязательно л.н.з.). Тогда множество $L(a_{1},\ \dots,\ a_{k}) = \{\lambda_{1}a_{1} +\ \ldots +\ \lambda_{k}a_{k}\ |\ \lambda_{i} \in F\}$ называется $\underline{линейной\ оболочкой\ системы\ векторов}\ a_{1},\ \dots,\ a_{k}$.

(Множество всевозможных линейных комбинаций векторов $a_{1},\ \dots,\ a_{k}$).

**Определение.** $\underline{Рангом}$ системы векторов $a_{1},\ \dots,\ a_{k}$ в ЛП называется размерность линейной оболочки этой системы: $Rg(a_{1},\ \dots,\ a_{k}) = \dim L(a_{1},\ \dots,\ a_{k})$.

##### 54. Дайте определения суммы и прямой суммы подпространств.

**Определение.** $H_{1} + H_{2} = \{ x_{1} + x_{2}\ |\ x_{1} \in H_{1},\ x_{2} \in H_{2}\}$ называется $\underline{суммой\ подпространств}.$

*Замечание.* $H_{1} + H_{2}\ -$ всегда линейное подпространство в $V$, если $H_{1}$ и $H_{2}\ -$ подпространства.

**Определение.** Сумма подпространств $H_{1}$ и $H_{2}$ называется $\underline{прямой}$, если $H_{1} \cap H_{2} = \{0\}$.

##### 55. Сформулируйте утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.

**Утверждение.** Пусть $H_{1}$ и $H_{2}\ -$ подпространства в $V$, тогда $\dim (H_{1} + H_{2}) = \dim H_{1} + \dim H_{2} - \dim (H_{1} \cap H_{2}).$