### Алгебра. Определения 2 часть.

В процессе составления использовались [материалы Аруновой Анастасии](https://github.com/adarunova/Algebra-HSE-SE/tree/year-2021/2022)

---

##### 1. Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ.

**Определение.** $\underline{ФСР}\ -$ любые $n-r$ линейно независимых столбцов, являющихся решениями ОСЛАУ $Ax=0\ (n\ -$ количество переменных$,\ r = Rg A).$

##### 2. Сформулируйте критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.

**Критерий.** $Ax=0$ имеет ненулевое решение $\Leftrightarrow \det A = 0.$

##### 3. Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.

**Теорема.** Пусть $\Phi_{1},\ \ldots,\ \Phi_{k}\ -$ ФСР ОСЛАУ $Ax = 0\ (k=n-r, $ где $n\ -$ количество переменных$,\ r = Rg A).$ \
Тогда $\forall$ решение этой СЛАУ можно представить в виде: \
$x = c_{1}\Phi_{1} +\ \ldots\ + c_{k}\Phi_{k},$ где $c_{1},\ \ldots,\ c_{k} \in \R\ -$ некоторые числа.

##### 4. Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

**Теорема.** $\~{x}\ -$ частное решение $Ax=b.$ \
Тогда $\forall$ решение этой СЛАУ можно представить в виде: \
$x = \~{x} + c_{1}\Phi_{1} +\ \ldots\ + c_{k}\Phi_{k},$ где $\Phi_{1},\ \ldots,\ \Phi_{k} \in \R\ -$ ФСР соответствующей ОСЛАУ $Ax = 0,\ k=n-r\ (n\ -$ число переменных$,\ r = Rg A).$

##### 5. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа?

**Определение.** \
Алгебраическая форма: $z = x + iy,$ где $i = (0,\ 1).$
Тригонометрическая форма: $z = r \cdot (\cos{\phi} + i \cdot \sin{\phi}).$

##### 6. Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Что такое главное значение аргумента комплексного числа?

**Определение.** $\underline{Модуль\ комплексного\ числа}\ -\ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = |z|$ 
$\underline{Аргумент\ комплексного\ числа}\ \phi\ -$ угол между положительным направлением вещественной оси и числом $z=x+iy$ (отсчитывается против часовой стрелки).

##### 7. Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при умножении и при делении?

1. $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$
2. $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}$
3. $Arg(z_{1} \cdot z_{2}) = Arg(z_{1}) + Arg(z_{2})$
4. $Arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}) = Arg(z_{1}) - Arg(z_{2})$

##### 8. Что такое комплексное сопряжение? Как можно делить комплексные числа в алгебраической форме?

**Определение.** $\underline{Комплексное\ сопряжение}\ -$ смена знака у мнимой части комплексного числа: $\overline{z} = x - iy.$

Деление: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} \cdot \overline{z_{2}}}{z_{2} \cdot \overline{z_{2}}} = \frac{z_{1} \cdot \overline{z_{2}}}{|z_{2}|^{2}}.$

##### 9. Выпишите формулу Муавра.

$z^{n} = r^{n} \cdot (\cos{(n\phi)} + i \cdot \sin{(n\phi)}) \quad \forall\ n \in \N.$

##### 10. Как найти комплексные корни n-ой степени из комплексного числа? Сделайте эскиз, на котором отметьте исходное число и все корни из него.

1. Представить число в тригонометрической форму: $\omega = \rho(\cos{\psi} + i \cdot \sin{\psi})$
2. Ищем корень в тригонометрической форме: $z = r(\cos{\varphi} + i \cdot \sin{\varphi})$
3. Использовать формулу Муавра для z:
$z^{n} = r^{n}(\cos{n\varphi} + i \cdot \sin{n\varphi})$
4. Приравнять модули и аргументы:
$\begin{cases}
\rho = r^{n}\\
\psi + 2\pi k = n\varphi ,\ k \in \Z
\end{cases}$
$\begin{cases}
r = \sqrt[n]{\rho}\\
\varphi = \frac{\psi + 2\pi k}{n},\ k \in \Z
\end{cases}$

Итог: $\sqrt[n]{\omega} = z = \{ \sqrt[n]{\rho} \cdot (\cos{(\frac{\psi + 2\pi k}{n})}) +i \cdot \sin{(\frac{\psi + 2\pi k}{n})} $ | $k = \overline{0,\ n-1}\}.$

Корни $\sqrt[n]{\omega}$ лежат в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{\rho}.$

##### 11. Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулируйте теорему Безу.

**Теорема.** Для $\forall$ многочлена $f(z) = a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} +\ \ldots\ + a_{1}z + a_{0},$ где $a_{i} \in \mathbb{C},\ a_{n} \neq 0,\ n \in \N,\quad \exists$ $z_{0}$, т.ч. $f(z_{0}) = 0,$ и  $z_{0}$ $ \in\ \mathbb{C}.$

**Теорема Безу.** Остаток от деления многочлена $f(x)$ на $x - c$ равен $f(c).$

##### 12. Выпишите формулу Эйлера. Выпишите выражения для синуса и косинуса через экспоненту.

$e^{i\phi} = \cos{\phi} + i \cdot \sin{\phi}$

$\cos{\phi} = \frac{e^{i\phi} + e^{-i\phi}}{2}$

$\sin{\phi} = \frac{e^{i\phi} - e^{-i\phi}}{2i}$

##### 13. Выпишите формулы Виета для многочлена третьей степени.

$f(x) = a_0x^{3} + a_{1}x^{2} + a_{2}x + a_{3}, \quad c_{1}, c_{2}, c_{3}\ -$ корни.

\begin{cases}
\frac{a_{1}}{a_0} = -(c_{1} + c_{2} + c_{3})\\
\frac{a_{2}}{a_0} = c_{1}c_{2} + c_{1}c_{3} + c_{2}c_{3}\\
\frac{a_{3}}{a_0} = -c_{1} \cdot c_{2} \cdot c_{3}
\end{cases}

##### 14. Какие многочлены называются неприводимыми?

**Определение.** Многочлен называется $\underline{неприводимым},\ $ если не существует нетривиальное разложение $f(x) = g(x) \cdot h(x).$

##### 15. Сформулируйте утверждение о разложении многочленов на неприводимые множители над полем комплексных чисел.

**Утверждение.** Многочлен над $\mathbb{C}$ в степени $n$ всегда разлагается в произведение степеней линейных множителей: \
$P_{n}(z) = a_{0} \cdot (z - z_{1})^{\alpha_{1}} \cdot \ldots \cdot (z - z_{k})^{\alpha_{k}},$ \
где $\alpha_{1} + \ldots + \alpha_{k} = n,$ \
$\alpha_{i} \in \N\ -$ кратность корня, \
$z_{i} \in \mathbb{C}\ -$ корни многочлена, \
$i = \overline{1,\ k}.$

##### 16. Выпишите формулу для вычисления скалярного произведения в координатах, заданных в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе.

$(x,\ y) = x \cdot Г \cdot y^{T},$ где \
$x = (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}),$ \
$y = (y_{1},\ y_{2},\ y_{3}),$ \
$Г = 
\begin{pmatrix}
(e_{1}, e_{1})\ (e_{1}, e_{2})\ (e_{1}, e_{3})\\
(e_{2}, e_{1})\ (e_{2}, e_{2})\ (e_{2}, e_{3})\\
(e_{3}, e_{1})\ (e_{3}, e_{2})\ (e_{3}, e_{3})\\
\end{pmatrix}\ -$ марица Грамма базиса $e_{1},\ e_{2},\ e_{3}.$

**Замечание.** В случае ОНБ $Г = E$ и $(x,\ y) = (x_{1}y_{1}+\ x_{2}y_{2}+\ x_{3}y_{3}).$

##### 17. Дайте определение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве.

**Определение.** Вектора $\overline{c}$ называется $\underline{векторным\ произведением\ векторов}\ \overline{a}$ и $\overline{b},$ если:

1. $|\overline{c}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \cdot \sin{\phi},$ где $\phi\ -$ угол между $\overline{a}$ и $\overline{b}.$
2. $\overline{c} \perp \overline{a}, \quad \overline{c} \perp \overline{b}.$
3. Тройка $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\ -$ правая.

##### 18. Сформулируйте три алгебраических свойства векторного произведения.

**Свойства.**

1. Антикоммутативность: \
$\overline{a} \times \overline{b} = - \overline{b} \times \overline{a}.$
2. Дистрибутивность: \
$(\alpha \overline{a}) \times  \overline{b} = \alpha (\overline{a} \times \overline{b}),$ \
$(\overline{a} + \overline{b}) \times \overline{c} = \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{c}.$
3. Следствие антикоммутативности: \
$\overline{a} \times \overline{a} = 0.$

##### 19. Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе.

Пусть $\overline{i},\overline{j},\overline{k}$ - правый ОНБ. \
Пусть векторы $\overline{a} = a_{x}\overline{i} + a_{y}\overline{j} + a_{z}\overline{k}, \quad \overline{b} = b_{x}\overline{i} + b_{y}\overline{j} + b_{z}\overline{k},$ тогда $\underline{векторное\ произведение}$ в ОНБ: \
$\overline{a} \times \overline{b} = 
\begin{vmatrix}
\overline{i} & \overline{j} & \overline{k}\\
a_{x} & a_{y} & a_{z}\\
b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{vmatrix} 
= \overline{i} \cdot (a_{y}b_{z} - a_{z}b_{y}) + \overline{j} \cdot (a_{z}b_{x} - a_{x}b_{z}) + \overline{k} \cdot (a_{x}b_{y} - a_{y}b_{x}).$

##### 20. Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов с помощью векторного произведения.

**Критерий.** Векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ коллинеарны $\Leftrightarrow \overline{a} \times \overline{b} = 0.$

##### 21. Дайте определение смешанного произведения векторов. Как связано смешанное произведение с нахождением объема?

**Определение.** $\underline{Смешанное\ произведение\ векторов}\ \overline{a},\ \overline{b}$ и $\overline{c}\ -$ число $(\overline{a} \times \overline{b},\ \overline{c}).$

$V\ -$ объём параллелепипеда, построенного на векторах $\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}$ (они не компланарны) \
$(\overline{a} \times \overline{b},\ \overline{c}) = \begin{cases}
V,\quad если\ \overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}\ -\ правая\ тройка\\
-V,\quad если\ \overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}\ -\ левая\ тройка
\end{cases}$

##### 22. Как вычислить объем тетраэдра с помощью смешанного произведения?

Объём тетраэдра, построенного на векторах $\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c},$ равен $V_{T} = \frac{1}{6}|\langle\overline{a},\ \overline{b},\ \overline{c}\rangle|.$

##### 23. Выпишите формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе.

$\langle x,\ y,\ z \rangle = 
\begin{vmatrix}
x_{1}\ x_{2}\ x_{3}\\
y_{1}\ y_{2}\ y_{3}\\
z_{1}\ z_{2}\ z_{3}\\
\end{vmatrix} = x_{1}y_{2}z_{3} + x_{2}y_{3}z_{1} + x_{3}y_{1}z_{2} - x_{3}y_{2}z_{1} - x_{2}y_{1}z_{3} - x_{1}y_{3}z_{2}$

##### 24. Сформулируйте критерий компланарности трех векторов с помощью смешанного произведения.

**Критерий.** Векторы $\overline{x},\ \overline{y},\ \overline{z}\ \underline{компланарны} \Leftrightarrow \langle\overline{x},\ \overline{y},\ \overline{z}\rangle = 0.$

##### 25. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

**Определение.** $\underline{Прямоугольная\ декартова\ система\ координат}\ -$ пара, состоящая из точки $O$ и ОНБ $\overline{i},\ \overline{j},\ \overline{k}.$

Точку $O$ называют началом ПДСК. Прямые, содержащие векторы $\overline{i},\ \overline{j},\ \overline{k}$, задающие направления этих прямых называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат соответственно.

##### 26. Что такое уравнение поверхности и его геометрический образ?

**Определение.** Уравнение $F(x, y, z) = 0$ называется $\underline{уравнением\ поверхности}\ S,$ если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на поверхности.

**Определение.** Поверхность $S$ называется $\underline{геометрическим\ образом}$ уравнения $F(x, y, z) = 0.$

##### 27. Сформулируйте теорему о том, что задает любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве.

**Теорема.** Любое уравнение $Ax + By + Cz + D = 0,$ где $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$ определяет в пространстве плоскость.

##### 28. Что такое нормальный вектор плоскости?

**Определение.** Пусть $Ax + By + Cz + D = 0\ -$ уравнение плоскости, тогда вектор  $\overline{n} = (A,\ B,\ C)$ перпендикулярен плоскости и называется её $\underline{нормальным\ вектором}.$

##### 29. Выпишите уравнение плоскости в отрезках. Каков геометрический смысл входящих в него параметров?

Даны точки $M_{1}(a,\ 0,\ 0),\ M_{2}(0,\ b,\ 0),\ M_{3}(0,\ 0,\ c) \in P, \quad (a,\ b,\ c \neq 0).$

Тогда уравнение плоскости $P$ в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$ 

$a,\ b,\ c\ -$ отрезки (со знаками), отсекаемые плоскостью $P$ на осях координат.

##### 30. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой.

Плоскости: \
$P_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\
P_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$

$P_{1} \nparallel P_{2} \Rightarrow P_{1}\ \cap\ P_{2} = L.$

$\underline{Общие\ уравнения\ прямой}: 
\begin{cases}
A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\\
A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0
\end{cases}$

$\underline{Векторное\ уравнение\ прямой}: \overline{r} = \overline{r_{0}} + t\overline{s},\\ $
где $M_{0}(r_{0}) \in L \\
\overline{s} \neq 0\ -$ направляющий вектор прямой $L,\ \overline{s} = (l,\ m,\ n) \\
t\ -$ параметр. 

$\underline{Параметрическое\ уравнение}:
\begin{cases}
x = x_{0} + tl\\
y = y_{0} + tm\\
z = z_{0} + tn
\end{cases}$

$\underline{Каноническое\ уравнение}: \frac{x-x_{0}}{l} = \frac{y-y_{0}}{m} = \frac{z-z_{0}}{n}$ (Знаменатели могут равняться нулю, но не все сразу).

##### 31. Сформулируйте критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.

Прямые: \
$L_{1}: \frac{x-x_{1}}{l_{1}} = \frac{y-y_{1}}{m_{1}} = \frac{z-z_{1}}{n_{1}} \\
L_{2}: \frac{x-x_{2}}{l_{2}} = \frac{y-y_{2}}{m_{2}} = \frac{z-z_{2}}{n_{2}}$

\
$\overline{M_{1}M_{2}} = (x_{2} - x_{1},\ y_{2} - y_{1},\ z_{2} - z_{1})$

\
$\overline{s_{1}} = (l_{1},\ m_{1},\ n_{1}) \\
\overline{s_{2}} = (l_{2},\ m_{2},\ n_{2})$

**Критерий.** $L_{1} \in \alpha$ и $L_{2} \in \alpha \Leftrightarrow \langle \overline{M_{1}M_{2}},\ \overline{s_{1}},\ \overline{s_{1}} \rangle = 0.$